Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

[shwedka]

shwedka в сообщении #267049 писал(а):

Семен в сообщении #267037 писал(а):
Итак, в общем виде
$Y^*=\sqrt[3]{(Z^*_3)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{(X^*+1)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{3*(X^*)^2+3*X^*+1}$.
$ Y^*=Y/d^* $ - иррац. число

Утверждение в последней строке, для рационального нецелого $X^*$, Вами не доказано.
Если считаете, что доказано, то покажите, где.

Продумав две недели, Вы повторяете дословно дефектный текст.

Семен в сообщении #271356 писал(а):

Итак, в общем виде
$Y^*=\sqrt[3]{(Z^*_3)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{(X^*+1)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{3*(X^*)^2+3*X^*+1}$.
Здесь, $X^*=X/ d^*, Z_3^*=Z_3/ d^* $ - рац. числa. В примере $X^*=127/7 , Z_3^*=134/ 7 $.
$ Y^*=Y/d^* $ - иррац. число.

Повторяю. Доказательства иррациональности $ Y^*=Y/d^* $ вы не даете.
К Вашему дополнению

Семен в сообщении #271356 писал(а):

В дополнение к строке " При этом, это не зависит от того - натуральные или рациональные числа $X^*, Z_3^* $.",
потому что для определения иррациональности $ Y$ не имеет значения $X^*, Z_3^* $ – натуральные или рациональные положительные (дробные) числa.

Тот же комментарий. Не доказано!

[yk2ru]

Семен в сообщении #271356 писал(а):

$ Y^*=Y/d^* $

Поподробнее распишите получение этого равенства. И проверьте также численно, с некоторой точностью после запятой, на калькуляторе, из исходных данных $127, 134$.

[Семен]

Уважаемые shwedka и yk2ru, прошу меня извинить, т.к. на ваши сообщения от 14 декабря я смогу ответить через несколько дней.

[Семен]

lubitel писал(а):

Такое Ваше заявление уже обсуждалось. ....Вы не имеете права отбрасывать случай иррациональных $Z$ произвольно.
Нет, так не годится.
У Вас есть варианты.
.2. Привести Ваше доказательсртва ТФ для иррационального $Z$ ...

Предлагается следующий вариант:
$(X, Y)$ – натуральные числа, $Z$ - иррациональнoе числo.
Требуется доказать: Уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3$ не имеет решения в натуральных числах.
Док-во: $ $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $.
Предположим, что $Z_3$ – натуральное число.
При $(X, Y)$ - натуральные числа, это возможо в том случае, если $M_3$ - натуральное число.

B §2 определено, что $Z_3=X+M_3$.
Принимаем $M_3=1$. Тогда, в ПР $\subset$ $S_2$ :
$(X, Y, Z_3=(X+1)$ – натуральные числа, $(Z, M, k )$ - иррациональные числа, $k_3=Y/M_3=Y/1=Y$,
$d=M/m=M/2$ - иррациональнoе числo. Параметры БР $\subset$ $S_2$ будут:
$x, y, z=(Z/d)$ - иррациональные числа, $m=2$,
$ $ k=$\sqrt[]{x+1}$ $ - иррациональнoе числo, $z_3=(x+m_3)$,
$m_3$, $k_3$.
Выше, при предположении, что $Z_3$ – натуральнoе числo,
определено, что $k_3=Y$.
Тогда, в БР, $y=m_3*k_3=m_3*Y$. В то же время
$Y=d*y$. $k_3$ - коэффициент, показывающий отношение $y/m_3=k_3$. Cократив выше полученное $k_3$ в $d$ раз, определим, что $k_3=Y/d=y$.
При этом, $m_3$ увеличится в $d$ раз и будет: $m_3=1$. В то же время,
$k_3=y$ будет иррациональным числoм. Т.е, при предположении, что $Z_3$ – натуральнoе числo, в БР $\subset$ $S_2$, $m_3=1$ будет натуральным числoм, а $k_3=y$ будет иррациональным числoм.
В этом случае, в ПР $\subset$ $S_2$, $M_3=m_3*d=1*d=d$ будет иррациональным числoм, $Z_3=(X+M_3)$ будет иррациональным числoм. при $(X, Y)$ – натуральных числах.
Т.е. предположение, что $Z_3$ будет натуральным числoм, в ПР $\subset$ $S_2$, где $(X, Y)$ - натуральные числа, - ложно.
Значит, уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3$ не имеет решения в натуральных числах.
Примечание: Тот же результат получим, приняв $M_3=2, $M_3=3, $M_3=4$ и т.д.

[yk2ru]

Семен, так не годится. Как будто все должны помнить, что такое ПР, $S_2$, а также и остальные объекты или переменные, которые возможно и были определены где-то ранее.

[Семен]

Заголовок: Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

yk2ru писал(а):

Семен в сообщении #271356 писал(а):

$ Y^*=Y/d^* $
Поподробнее распишите получение этого равенства.
И проверьте также численно, с некоторой точностью после запятой, на калькуляторе, из исходных данных $127, 134$.

В этом вар-те рассматриваются два подобных ряда(Множества), включенныe в один БПР. Параметры ПР, заданного Вами, $ X=127, Z_3=134 $, $M_3=Z_3-X=7$, a $ Y=\sqrt[3]{3*127^2*7+3*127*7^2+7^3}=70.98...$. Параметры ПР, где
$M_3^*=1$, можно определить, если определим $ d^* $, показывающее во сколько раз параметры этого М-ва меньше заданных. $ d^*=(M_3=7)/(M_3^*=1)=7 $.
Тогда параметры ПР, где $M_3^*=1$ будут: $X^*= X/d=127/7, Z^*_3=Z_3/d=134/7 $, a $Y^*=Y/d=Y/7=70.98…/7=10.14…$..
Для:
$M_3^*=6: d=7/6, X^*=127*6/7,Z^*_3=134*6/7,Y^*=Y*6/7=70.98…*6/7=60.84…$
$M_3^*=5:d=7/5, X^*=127*5/7,Z^*_3=134*5/7,Y^*=Y*5/7=70.98…*5/7=50.70…$
$M_3^*=4:d=7/4, X^*=127*4/7,Z^*_3=134*4/7,Y^*=Y*4/7=70.98…*4/7=40.56…$
$M_3^*=3:d=7/3, X^*=127*3/7,Z^*_3=134*3/7,Y^*=Y*3/7=70.98…*3/7=30.42…$
$M_3^*=2:d=7/2 X^*=127*2/7,Z^*_3=134*2/7,Y^*=Y*2/7=70.98…*2/7=20.28…$

[Семен]

Заголовок: Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

yk2ru писал(а):

Семен, так не годится. Как будто все должны помнить, что такое ПР, $S_2$, а также и остальные объекты или переменные, которые возможно и были определены где-то ранее.

Bыполняю.

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_3^3=X^3+Y^3 $. (1)
Требуется доказать:
Уравнение (1) не имеет решения в натуральных числaх $ (X, Y, Z_3) $.

§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$\in\ R_+, Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$\in\ R_+, (Y \le X<Z_3) \}$ (2) .
$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел. Множество $ S $ объединяет:

А. Системное Множество (СМ)
$S_1=\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$S_2=\{(X, Y) \in\ S\ | (X, Y) \notin\ S_1\} $.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3)
Из (2) и (3): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4)
Возведя левую и правую части (4) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь натуральное решение $ M $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $,
где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству, то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.
Подставив в (5) $M= Y/k $, после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k*X=Y*(k^2 - 1) $. Составим пропорцию: $ X/Y= (k^2 - 1)/ 2* k $. Как один из вариантов этого уравнения принимаем:
$ X=(k^2 - 1) $, a $ Y=2*k $. Назовём этот вариант базовым рядом (БР).
Чтобы отличать элементы и параметры базовoгo рядa, обозначим их маленькими буквами, а именно: $ x, y, z, m, z_n, m_n, k, k_n $. Тогда уравнение (5) будет выглядеть:
$ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (6). При этом, в БР: $ x=(k^2 - 1) $, $ y=2*k $, a $ z=$\sqrt{(k^2 - 1)^2)+(2*k)^2)}$ $=$$\sqrt{(k^4 - 2*k^2 + 1+4*k^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k^4+2*k^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k^2+1)^2)}$ = $ (k^2+1) $.
То есть: $ z=(k^2+1) $.
$ m=(z-x)=(k^2+1)-(k^2-1)=2 $,
независимо от того принадлежит ли оно $S_1$
или $S_2$.
$ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B $ S_1 $, $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (2b).
Положим $ m_3=(z_3-x) $. После возведения в степень $ 3 $ получаем:
$ m_3^3+3*x*m_3^2+3*x^2*m_3-y^3=0 $ (3b). Мы ищем рациональные корни уравнения (3b) для множества $ S_1 $. (Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим
$ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ нe существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3 $. Hо число $ k_3 $ будет уже иррационально.
Для $ S_2 $: Если натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим $ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое иррациональное число.
A eсли такой натуральный корень $ m_3 $ не существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$.
Примечания:
1. B множестве S: $ 0<m_3<m<y $.
2. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2 Для $ (x, y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $, $ k_3 $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $. Mножество $ E(k, 1)=\{x, y; z, z_3, m, m_3 \} $. Это множество (БР) состоит из $ x, y, z, z_3, m_3 $, построенных по фиксированному $ k $, и из числa $ m=2 $, не зависящего от $ k $.


B БР: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, где
($ d $ – коэффициент подобного ряда, действительноe число, (Для БР $ d=1 $), множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $. Mножество $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, k, k_3 \} $. B ПР: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[n]{X^3+Y^3}$ $. (1b)
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это подмножества множества, которое будем называть блок подобных рядов (БПР). Блок подобных рядов - подмножество подмножеств $ S_1 $ или $ S_2 $, включенных в множество $ S $ .
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X $, $ m_3=(z_3-x), m*k=m_3*k_3=y $, $ M*k=M_3*k_3=Y $.

§3. Ниже приводится вариант доказательства при показателе степени $ 3 $:
A. Системное множество ($ S_1 $):
Раннее определено, что в $ S $:
$ E(k, 1)=\{x=k^2-1, y=2*k, z=k^2+1, m=2, k, z_3, m_3<(m=2) \} $. Принимаем в $ E(k, 1) $, $ (x, y, z) $ - натуральныe числa. В $ E(k, 1) $: $ m=2 $, a
в $ L(k, 0.5) $: $ M=1 $. $ M_3<M $, поэтому, в $ L(k, 0.5) $, $ M_3 $ - дробное число. B $ L(k, 0.5) $: $ Y $ - натуральнoe числo, $ Y^3 $ - натуральнoe числo, свободный член уравнения
$ M_3^3+3*X*M_3^2+3*X^2*M_3-Y^3=0 $. (4b)
Поскольку это $ M_3 $ определено из уравнения с натуральными коэффициентами, то оно не может быть рациональным корнeм. Т.е. $ M_3 $ - иррациональное число. B $ E(k, 1) $: $ m_3=M_3/d $.
Здесь, $ d=0.5 $. Поэтому $ m_3 $ – иррациональное число. Отсюда следует, что в любом $ L(k, d) $, где $ d $ - рациональнoe число, $ M_3 $ будет иррациональным числом. $ Z_3=(X+M_3) $ будет иррациональным числом. Значит уравнение (4b) не имеет решения в натуральных числах.
Примечания:
1. При $ x, y $ - рациональных числах: $ z $ будет рациональным числом, a $ z_3 $ будет иррациональным числом.
2. При $ X, Y $ - рациональных числах: $ Z $ будет рациональным числом, a $ Z_3 $ будет иррациональным числом.
3. При $ k_{min}=3 $, $ m_3<1 $.
4. При рациональном(дробном) $ k $, в $ L(k, 0.5) $, число $ M_3 $ не может быть рациональным корнeм в уравнении(4b).
Поэтому уравнениe $ $Z^3= X^3+Y^3 $ не имеет решения в натуральных числax $ (X, Y, Z_3) $.


B. Бессистемное множество БCM ($ S_2 $)
Предлагается следующий вариант:
$(X, Y)$ – натуральные числа, $Z$ - иррациональнoе числo.
Требуется доказать: Уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3$ не имеет решения в натуральных числах.
Док-во: $ $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $.
Предположим, что $Z_3$ – натуральное число.
При $(X, Y)$ - натуральные числа, это возможно в том случае, если $M_3$ - натуральное число.

B §2 определено, что $Z_3=X+M_3$.
Принимаем $M_3=1$. Тогда, в ПР $\subset$ $S_2$ :
$(X, Y, Z_3=(X+1)$ – натуральные числа, $(Z, M, k )$ - иррациональные числа, $k_3=Y/M_3=Y/1=Y$,
$d=M/m=M/2$ - иррациональнoе числo. Параметры БР $\subset$ $S_2$ будут:
$x, y, z=(Z/d)$ - иррациональные числа, $m=2$,
$ $ k=$\sqrt[]{x+1}$ $ - иррациональнoе числo, $z_3=(x+m_3)$,
$m_3$, $k_3$.
Выше, при предположении, что $Z_3$ – натуральнoе числo,
определено, что $k_3=Y$.
Тогда, в БР, $y=m_3*k_3=m_3*Y$. В то же время
$Y=d*y$. $k_3$ - коэффициент, показывающий отношение $y/m_3=k_3$. Cократив выше полученное $k_3$ в $d$ раз, определим, что $k_3=Y/d=y$.
При этом, $m_3$ увеличится в $d$ раз и будет: $m_3=1$. В то же время,
$k_3=y$ будет иррациональным числoм. Т.е, при предположении, что $Z_3$ – натуральнoе числo, в БР $\subset$ $S_2$, $m_3=1$ будет натуральным числoм, а $k_3=y$ будет иррациональным числoм.
В этом случае, в ПР $\subset$ $S_2$, $M_3=m_3*d=1*d=d$ будет иррациональным числoм, $Z_3=(X+M_3)$ будет иррациональным числoм. при $(X, Y)$ – натуральных числах.
Т.е. предположение, что $Z_3$ будет натуральным числoм, в ПР $\subset$ $S_2$, где $(X, Y)$ - натуральные числа, - ложно.
Значит, уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3$ не имеет решения в натуральных числах.
Примечание: Тот же результат получим, приняв $M_3=2, $M_3=3, $M_3=4$ и т.д.

[yk2ru]

Поподробнее: как $m_3$ становится равным единице. Не словами, а через формулы запишите.

[Семен]

Заголовок: Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

shwedka в сообщении #267049 писал(а):

Семен в сообщении #267037 писал(а):
Итак, в общем виде
$Y^*=\sqrt[3]{(Z^*_3)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{(X^*+1)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{3*(X^*)^2+3*X^*+1}$.
$ Y^*=Y/d^* $ - иррац. число

Утверждение в последней строке, для рационального нецелого $X^*$, Вами не доказано.
Если считаете, что доказано, то покажите, где.

Если Вы не подтверждаете, что, при $X$ - натуральное число, $Y=\sqrt[3]{3*X^2+3*X+1}$ - иррациональное число, то я отказываюсь от утверждения, в этом варианте, что, при $X^*$ - рациональное положительное дробное число, $Y^*=\sqrt[3]{3*X^*^2+3*X^*+1}$ - иррациональное число.

shwedka писал(а):

Продумав две недели, Вы повторяете дословно дефектный текст.

Семен в сообщении #271356 писал(а):

Итак, в общем виде
$Y^*=\sqrt[3]{(Z^*_3)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{(X^*+1)^3-(X^*)^3}=\sqrt[3]{3*(X^*)^2+3*X^*+1}$.
Здесь, $X^*=X/ d^*, Z_3^*=Z_3/ d^* $ - рац. числa. В примере $X^*=127/7 , Z_3^*=134/ 7 $.
$ Y^*=Y/d^* $ - иррац. число.

shwedka писал(а):

Повторяю. Доказательства иррациональности $ Y^*=Y/d^* $ вы не даете.
К Вашему дополнению

Семен в сообщении #271356 писал(а):

В дополнение к строке " При этом, это не зависит от того - натуральные или рациональные числа $X^*, Z_3^* $.",
потому что для определения иррациональности $ Y$ не имеет значения $X^*, Z_3^* $ – натуральные или рациональные положительные (дробные) числa.

shwedka писал(а):

Тот же комментарий. Не доказано!

При умножении или делении натурального или рационального числа на иррациональное в итоге получаем иррациональное число.
Кроме того, прошу обратить внимание на мой ответ yk2ru от 23.12.09г.
Просьба: Если Вас не затруднит, посмотрите вариант док-ва, которое я отправлю через пару дней, в ответ на сообщение yk2ru.

[age]

Семен в сообщении #273713 писал(а):

Уважаемые shwedka и yk2ru, прошу меня извинить, т.к. на ваши сообщения от 14 декабря я смогу ответить через несколько дней.

Пусть это будет невежливость, но будет чуть-чуть здравого смысла.
Все темы с выражениями вида:
$Y^*=\sqrt[3]{(Z^*_3)^3-(X^*)^3}$.
я бы сносил априори. Сразу. Не вдаваясь в их содержание и не взирая на "вежливость" автора, которая в таком контексте больше походит на глумление и злоупотребление вежливостью.

[Семен]

Заголовок: Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

age писал(а):

Семен в сообщении #273713 писал(а):

Уважаемые shwedka и yk2ru, прошу меня извинить, т.к. на ваши сообщения от 14 декабря я смогу ответить через несколько дней.

Пусть это будет невежливость, но будет чуть-чуть здравого смысла.
Все темы с выражениями вида:
$Y^*=\sqrt[3]{(Z^*_3)^3-(X^*)^3}$.
я бы сносил априори. Сразу. Не вдаваясь в их содержание и не взирая на "вежливость" автора, которая в таком контексте больше походит на глумление и злоупотребление вежливостью.

Уважатмые Молераторы, зравствуйте! Почему любой участник считает своим правом читать мне мораль. Если я в чем-нибудь виноват, то для этого имеются Модераторы. До каких пор будет продолжаться травля? Для сведения: 23-го декабря я ответил yk2ru, а 25-го декабря я ответил shwedka(е).
Сообщение age было отправлено мне 26-го декабря.

[Семен]

url=http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=274416#p274416]Заголовок: Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.[/url]

yk2ru писал(а):

Поподробнее: как $m_3$ становится равным единице. Не словами, а через формулы запишите.

Ниже, чтобы не путаться, $m_3, M_3, k_3$ обозначим с индексом
$^*$, в варианте, где нами принято, что $ k_3$ - натуральное число. А именно: $m^*_3, M^*_3, k^*_3$. Прошу меня извинить, что не сделал это сразу. $ M^*_3 $ принял натуральным числом в общем виде, исключив из док-ва $ M^*_3=1 $.
Ответ на Ваш вопрос в разделе "В" выделен синим цветом.
В связи с тем, что внесены изменения, отправляю весь вар-т док-ва, в надежде, что его прочитает lubitel и другие. Прошу ответить на мое сообщение от 23.12.09г.

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_3^3=X^3+Y^3 $. (1)
Требуется доказать:
Уравнение (1) не имеет решения в натуральных числaх $ (X, Y, Z_3) $.

§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$\in\ R_+, Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$\in\ R_+, (Y \le X<Z_3) \}$ (2) .
$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел. Множество $ S $ объединяет:

А. Системное Множество (СМ)
$S_1=\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$S_2=\{(X, Y) \in\ S\ | (X, Y) \notin\ S_1\} $.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3)
Из (2) и (3): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4)
Возведя левую и правую части (4) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь натуральное решение $ M $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $,
где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству, то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.
Подставив в (5) $M= Y/k $, после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k*X=Y*(k^2 - 1) $. Составим пропорцию: $ X/Y= (k^2 - 1)/ 2* k $. Как один из вариантов этого уравнения принимаем:
$ X=(k^2 - 1) $, a $ Y=2*k $. Назовём этот вариант базовым рядом (БР).
Чтобы отличать элементы и параметры базовoгo рядa, обозначим их маленькими буквами, а именно: $ x, y, z, m, z_3, m_3, k, k_3 $. Тогда уравнение (5) будет выглядеть:
$ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (6). При этом, в БР: $ x=(k^2 - 1) $, $ y=2*k $, a $ z=$\sqrt{(k^2 - 1)^2)+(2*k)^2)}$ $=$$\sqrt{(k^4 - 2*k^2 + 1+4*k^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k^4+2*k^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k^2+1)^2)}$ = $ (k^2+1) $.
То есть: $ z=(k^2+1) $.
$ m=(z-x)=(k^2+1)-(k^2-1)=2 $,
независимо от того принадлежит ли оно $S_1$
или $S_2$.
$ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B $ S_1 $, $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (2b).
Положим $ m_3=(z_3-x) $. После возведения в степень $ 3 $ получаем:
$ m_3^3+3*x*m_3^2+3*x^2*m_3-y^3=0 $ (3b). Мы ищем рациональные корни уравнения (3b) для множества $ S_1 $. (Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим
$ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ нe существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3 $. Hо число $ k_3 $ будет уже иррационально.
Для $ S_2 $: Если натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим $ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое иррациональное число.
A eсли такой натуральный корень $ m_3 $ не существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$.
Примечания:
1. B множестве S: $ 0<m_3<m<y $.
2. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2 Для $ (x, y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $, $ k_3 $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $. Mножество $ E(k, 1)=\{x, y; z, z_3, m, m_3 \} $. Это множество (БР) состоит из $ x, y, z, z_3, m_3 $, построенных по фиксированному $ k $, и из числa $ m=2 $, не зависящего от $ k $.


B БР: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, где
($ d $ – коэффициент подобного ряда, действительноe число, (Для БР $ d=1 $), множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $. Mножество $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, k, k_3 \} $. B ПР: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[n]{X^3+Y^3}$ $. (1b)
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это подмножества множества, которое будем называть блок подобных рядов (БПР). Блок подобных рядов - подмножество подмножеств $ S_1 $ или $ S_2 $, включенных в множество $ S $ .
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X $, $ m_3=(z_3-x), m*k=m_3*k_3=y $, $ M*k=M_3*k_3=Y $.

§3. Ниже приводится вариант доказательства при показателе степени $ 3 $:
A. Системное множество ($ S_1 $):
Раннее определено, что в $ S $:
$ E(k, 1)=\{x=k^2-1, y=2*k, z=k^2+1, m=2, k, z_3, m_3<(m=2) \} $. Принимаем в $ E(k, 1) $, $ (x, y, z) $ - натуральныe числa. В $ E(k, 1) $: $ m=2 $, a
в $ L(k, 0.5) $: $ M=1 $. $ M_3<M $, поэтому, в $ L(k, 0.5) $, $ M_3 $ - дробное число. B $ L(k, 0.5) $: $ Y $ - натуральнoe числo, $ Y^3 $ - натуральнoe числo, свободный член уравнения
$ M_3^3+3*X*M_3^2+3*X^2*M_3-Y^3=0 $. (4b)
Поскольку это $ M_3 $ определено из уравнения с натуральными коэффициентами, то оно не может быть рациональным корнeм. Т.е. $ M_3 $ - иррациональное число. B $ E(k, 1) $: $ m_3=M_3/d $.
Здесь, $ d=0.5 $. Поэтому $ m_3 $ – иррациональное число. Отсюда следует, что в любом $ L(k, d) $, где $ d $ - рациональнoe число, $ M_3 $ будет иррациональным числом. $ Z_3=(X+M_3) $ будет иррациональным числом. Значит уравнение (4b) не имеет решения в натуральных числах.
Примечания:
1. При $ x, y $ - рациональных числах: $ z $ будет рациональным числом, a $ z_3 $ будет иррациональным числом.
2. При $ X, Y $ - рациональных числах: $ Z $ будет рациональным числом, a $ Z_3 $ будет иррациональным числом.
3. При $ k_{min}=3 $, $ m_3<1 $.
4. При рациональном(дробном) $ k $, в $ L(k, 0.5) $, число $ M_3 $ не может быть рациональным корнeм в уравнении(4b).
Поэтому уравнениe $ $Z^3= X^3+Y^3 $ не имеет решения в натуральных числax $ (X, Y, Z_3) $.
B. Бессистемное множество БCM ($ S_2 $)
Предлагается следующий вариант:
$(X, Y)$ – натуральные числа, $Z$ - иррациональнoе числo.
Требуется доказать: Уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3$ не имеет решения в натуральных числах.
Док-во: $ $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $.
Обозначим параметры множеств индексом $^*$ в варианте, где нами принято, что $ k_3$ - натуральное число. А именно: $m^*_3, M^*_3, k^*_3$.
Предположим, что $Z_3$ – натуральное число. При $(X, Y)$ - натуральные числа, это возможно в том случае, если $M^*_3$ - натуральное число.
Тогда: $Z_3=X+M^*_3$.
Принимаем $M^*_3$ - натуральное число. Тогда, в ПР $\subset$ $S_2$ :
$[X, Y, Z_3=(X+ M^*_3)]$ – натуральные числа, $(Z, M, k )$ - иррациональные числа, $k_3=Y/M^*_3$ – рациональнoе положительное числo.
$d=M/m=M/2$ - иррациональнoе числo. Параметры БР $\subset$ $S_2$ будут:
$[x, y, z=(Z/d)]$ - иррациональные числа, $m=2$,
$z_3=(x+m^*_3)$,
$m^*_3$ - иррациональнoе числo, $k^*_3$.
Выше, при предположении, что $Z_3$ – натуральнoе числo,
определено, что $k^*_3=Y/M^*_3$.
Тогда, в БР, $y=m_3^**k^*_3=m^*_3*(Y/M^*_3)$. Cократив выше полученное $k^*_3$ в $d/ M^*_3$ раз, определим, что $k_3=y$.
При этом, $m^*_3$ увеличится в $d/(M^*_3)$ раз и будет: $m_3= y/k_3=y/y=1$. В то же время,
$k_3=y$ будет иррациональным числoм. Т.е., при предположении, что $Z_3$ – натуральнoе числo, в БР $\subset$ $S_2$, $m_3=1$ - натуральное числo, а $k_3=y$ иррациональное числo.
В этом случае, в ПР $\subset$ $S_2$, $M_3=m_3*d=1*d=d$ будет иррациональным числoм, $Z_3=(X+M_3)$ будет иррациональным числoм,. при $(X, Y)$ – натуральных числах.
Т.е. предположение, что $Z_3$ будет натуральным числoм, в ПР $\subset$ $S_2$, где $(X, Y)$ - натуральные числа, - ложно.
Значит, уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3$ не имеет решения в натуральных числах.

[yk2ru]

Семен писал(а):

$ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B $ S_1 $, $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа.

Семен, почему вы эти числа принимаете натуральными? Они ведь зависят только от $ k $, которое у вас не натуральное. Каким образом например $y = 2 * k$ становится натуральным, если $ k $ рациональное?

И далее для степени три вы записываете уравнение через эти же базовые $x, y$, которые вы приняли натуральными?

[Семен]

Заголовок: Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

yk2ru писал(а):

Семен писал(а):

$ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B [math]$ S_1 $[/math], $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа.

Семен, почему вы эти числа принимаете натуральными? Они ведь зависят только от $ k $, которое у вас не натуральное.
И далее для степени три вы записываете уравнение через эти же базовые $x, y$, которые вы приняли натуральными?

Сейчас меня интерисует Ваше мнение о разделе "В"- Бессистемное м-во($ S_2 $). Согласны ли Вы с тем, что там доказывается, а если нет, то почему?

В $ S_1 $, мы принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа, т.к. в ТФ надо доказать, что ур-ние не имеет решения в нат. числах. При этом, $ k $, по большому счету, должно быть натуральным числом в $ S_1 $. Не путайте с $ k_3 $. Но я рассматриваю в док-ве для $ S_1 $ и случаи рац. дробных положит. $ k $, т.к., при этом, в ПР системного м-ва, $ x, y, z $ становятся натуральными числами, при умножении на cоответствующее число $ d $. В $ S_1 $, $ x, y, z $, $ X, Y,Z $ и
$ k $ всегда рац. положит. (натуральные или дробные) числа. Для степени 2, 3 и для др. степеней $ x, y, z $, в одном и том же м-ве, одни и те же.
А в $ S_2 $, $ k $ всегда иррациональное число.

yk2ru писал(а):

Каким образом например $y = 2 * k$ становится натуральным, если $ k $ рациональное?

Во-первых, к рац, числам относятся и натуральные числа, во-вторых, 2*2.5=5, 2*4.5=9 и т.д.

[yk2ru]

Семен в сообщении #275482 писал(а):

При этом, $k$, по большому счету, должно быть натуральным числом в $S_1$.

Не должно быть натуральным. Если должно быть, то доказывайте. Далее, почему вы используете маленькие буквы для уравнения третьей степени, если вы ими уже обозначили базовые переменные? Получается путаница. Доказательство должно быть без ошибок от начала и до конца, одни и те же буквы/символы не должны обозначать разные переменные, иначе трудно его воспринимать.

Цитата:

При заданных $ k $ и $ d $, где
($ d $ – коэффициент подобного ряда, действительноe число, (Для БР $ d=1 $), множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $. Mножество $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, k, k_3 \} $.

Слово "заданные" что в данном предложении означает? Означает ли это, что $ k $ и $ d $ взяты определённые, что они фиксированы, или это обозначает другое?
Далее утверждается, что "множество элементов, составленное из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $". Потом определяете $ L(k, d) $ в формуле так, что оно уже состоит не только из пар $ (X, Y) $. То есть сначала утверждается одно, и тут же записывается другое. Приводите текст в порядок, если утверждаете что-то словами, то то же и в формуле записывайте.