Задача про гибкую однородную цепь.

[oleg-spbu]

Очень гибкая однородная цепь массой $M$ и длиной $l$ подвешена за один конец так, что другой ее конец касается стола. В некоторый момент времени верхний конец освобождают и цепь падает на стол так, что каждое ее звено сразу после падения перестает двигаться. Найти силу удара цепи о стол как функцию веса той части цепи, которая лежит на столе.

Найти силу удара цепи о стол Пусть масса каждого звена $m$
$N$ -число звеньев. $M=m\cdot N$
Рассмотрим, например самое верхнее звено. Перед тем, как ударится о стол, в некоторый момент времени $t_1$ это звено имело конечную скорость $v_1$, через бесконечно малый промежуток времени $\Delta t$ во время удара $t_2$
$v_2=0$
ускорение за этот промежуток времени
$a=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
$\Delta t \to 0$ => $a \to \infty$
Это ускорение пропорционально силе удара звена о стол...
Как-то "неправдоподобно все получается"
Как быть?

[Утундрий]

Раз $\Delta t \to 0$ то и $m \to 0$. А так как требуется найти силу, то...

[oleg-spbu]

Утундрий в сообщении #270102 писал(а):

Раз $\Delta t \to 0$ то и $m \to 0$. А так как требуется найти силу, то...

А почему $m \to 0$ ?
Неопределенность $0/0$
Вы имеете ввиду, что сила пропорциональна изменению скорости?
$F=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$

-- Пт дек 11, 2009 04:49:13 --

Задачка тоже про свешивающееся тело...
однородный канат массой $m$ и длиной $l$ свешивается с подоконника.
Показать, что скорость поперечных волн является функцией от $y$ -расстояния от нижнего конца каната и описывается выражением $V= \sqrt{gy}$
Показать, что время прохождения волной всей длины каната $t=2\sqrt{l/g}$

$x=Acos(\omega\cdot t + \phi)$

$V=\omega\cdot R$
$R$ - средний радиус каната

[Утундрий]

Рассмотрите падение отдельного звена. Потом перейдите к пределу $N \to \infty$, вот и Только вычисляя силу по переданному столу импульсу не забывайте, что звенья у вас не точечные и имеют конечные размеры.

[Den-Pen]

Даже если рассматривать цепь из 10 звеньев, каждое звено по 1 кг, все равно в идеализированном случае звено упавшее на стол перестает двигаться мгновенно (условие задачи), а масса не нулевая...

[oleg-spbu]

Насколько я понимаю

$$F=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d(Mv)}{dt}=\dfrac{d(Nmv)}{dt}=m\dfrac{d(Nv)}{dt}= =m(v\dfrac{dN}{dt}+N\dfrac{dv}{dt})$$

Но у меня мозг сейчас выключен....

[oleg-spbu]

Вот какая идея мне пришла в голову
Сила удара цепи о стол можно понимать как импульс, переданный столу за время $\Delta t$ (пока все звенья передавали импульс)
$\Delta t = t_2 - t_1$
$t_1$ - момент времени, когда отпустили цепь
$t_2$ - момент времени, когда самое верхнее звено передало импульс столу.

$F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}=\dfrac{Mv}{\Delta t}$

Время, за которое упала цепь можно определить из соотношения $l=\dfrac{g\cdot ({\Delta t})^2}{2}$

Скорость каждого звена за мгновение до удара - различна

[12d3]

Цепь будет считать состоящей не из конечного количества звеньев, а однородной.
M - масса всей цепи.
m - масса той части цепи, которая в воздухе.
l - длина всей цепи.
h - длина части цепи, лежащей на столе, заодно и расстояние, которое пролетел верхний конец цепи.
$F = \frac{dp}{dt}=\frac{v \cdot d}{dt} = \frac{v \cdot (\frac{M}{l}dx)}{dt}=\frac{Mv^2}{l}$
$v^2 = 2gh = 2g \frac{l}{M}(M-m)$
$F=\frac{Mv^2}{l}=\frac{M \cdot 2gl(M-m)}{lM}=2g(M-m)$

[oleg-spbu]

12d3, спасибо!
Значит, сила удара цепи о стол как функция веса той части цепи, которая лежит на столе
$F(P)=2P$

[12d3]

Пардон, еще забыл про вес того, что уже лежит на столе. Итого в ответе коэффициент не 2, а 3.

[invisible1]

12d3 в сообщении #271276 писал(а):

Пардон, еще забыл про вес того, что уже лежит на столе. Итого в ответе коэффициент не 2, а 3.

Откуда там может быть 3? Вес того, что лежит на столе $(M-m)g$

[Андрей123]

12d3 в сообщении #270648 писал(а):

$F = \frac{dp}{dt}=\frac{v \cdot d}{dt} = \frac{v \cdot (\frac{M}{l}dx)}{dt}=\frac{Mv^2}{l}$
$v^2 = 2gh = 2g \frac{l}{M}(M-m)$

А почему в первой формуле скорость вынесли из-под знака дифференциала вынесли? Во-второй формуле закон сохранения энергии? Так в этом случае он так не запишется.

[Утундрий]

Да рассмотрите вы элементарное событие - падение одного звена...

Впрочем, может частокол дельта-функций и впрямь не очевидно как опредЕлить... Так перейдите к ее первообразной. Ступенчатую функцию сгладить много ума не надо, руки так и просютсо %)

12d3
Вот сходу правильный результат выдали, а потом куда-то "поплыли". Зачем?