Описать подполе С

[sasha_vertreter]

Добрый день!

Мне нужно описать подполе $\mathbb C$ вида - $\mathbb Q(\sqrt{5},\sqrt{7})$. Правильно я понимаю, что это будет подполе, состоящее из всех чисел вида $a =\alpha +\sqrt{5} \beta+\sqrt{7}\gamma$, где $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb Q $?

Спасибо.

[Профессор Снэйп]

Если

$$ \frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{7}} = \alpha + \beta\sqrt{5} + \gamma\sqrt{7}, $$

то чему равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$?

-- Вс дек 13, 2009 17:10:35 --

Вроде находятся нужны коэффициенты. Да, всё нормально, ответ правильный.

[sasha_vertreter]

Да, я вижу, что не верно.

Может быть это все числа вида: $a=\sqrt{2}\alpha + \sqrt{5}\beta$?

Тогда я могу доказать, что $\sqrt{7}$ принадлежит этому подполю, а также принадлежность обратного элемента...

Мне почему-то кажется, что это должно быть простое подполе..? (или вообще все не то)

-- Вс дек 13, 2009 11:21:38 --

Профессор Снэйп в сообщении #270934 писал(а):

Вроде находятся нужны коэффициенты. Да, всё нормально, ответ правильный.

Как я быстро испугался... Спасибо!

-- Вс дек 13, 2009 11:23:36 --

sasha_vertreter в сообщении #270941 писал(а):

Да, я вижу, что не верно.

Может быть это все числа вида: $a=\sqrt{2}\alpha + \sqrt{5}\beta$?

а это как раз неверно, так как не замкнуто относительно умножения наверно...?

[Профессор Снэйп]

sasha_vertreter в сообщении #270941 писал(а):

не замкнуто относительно умножения наверно...?

Да, похоже на то... По крайней мере не видно, как найти представление $\sqrt{35} = \alpha + \beta\sqrt{5} + \gamma\sqrt{7}$, но если оно найдётся, то этого будет достаточно.

-- Вс дек 13, 2009 17:35:17 --

Само собой, своё утверждение про "правильный ответ" я пока беру назад. Не подумал про умножение.

[ewert]

Да добавьте $\sqrt{35}$ -- и дело с концом.

[sasha_vertreter]

ewert в сообщении #270950 писал(а):

Да добавьте $\sqrt{35}$ -- и дело с концом.

и тогда получается что искомое подполе будет содержать числа
$a=\alpha + \sqrt{5}\beta + \sqrt{7}\gamma + \sqrt{35}\delta$ -правильно? а базисом в таком случае будет ${1, \sqrt{5}, \sqrt{7} }$ - верно?

[Профессор Снэйп]

sasha_vertreter в сообщении #270961 писал(а):

базисом в таком случае будет ${1, \sqrt{5}, \sqrt{7} }$ - верно?

$\sqrt{35}$ ещё, если Вы имеете в виду базис над $\mathbb{Q}$.

Это в том случае, если $\sqrt{35}$ непредставимо в виде $\alpha + \beta\sqrt{5} + \gamma\sqrt{7}$. Скорее всего непредставимо, но лень думать.

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #270961 писал(а):

и тогда получается что искомое подполе будет содержать числа
$a=\alpha + \sqrt{5}\beta + \sqrt{7}\gamma + \sqrt{35}\delta$ -правильно?

Правильно.

sasha_vertreter в сообщении #270961 писал(а):

а базисом в таком случае будет ${1, \sqrt{5}, \sqrt{7} }$ - верно?

Неверно.

[sasha_vertreter]

ewert в сообщении #270966 писал(а):

Правильно.

и значит $\sqrt{35}$ не разлагается как $\alpha + \sqrt{5}\beta + \sqrt{7}\gamma$ над полем $\mathbb Q $ - я это еще продумаю, cпасибо!

ewert в сообщении #270966 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #270961 писал(а):

а базисом в таком случае будет $1$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$ , - верно?

Неверно.

а я кажется понял, ведь размерность такого расширения должна быть 4, так как минимальный полином от этих корней 4-й степени, так что базис должен состоять из 4-х элементов $1 \sqrt{5} \sqrt{7} \sqrt{35}$