Предел функции Римана

[altro]

Помогите найти предел функции Римана: $\lim_{x->x_0}\ f(x) \ ,$ x\in $R $
$f(x)=1/q, если x=p/q$
$f(x)=0,x\in I$

[ewert]

Его надо не находить, а доказывать: что в иррациональных точках он ноль, а в рациональных -- не существует. По определению предела.

[altro]

А можно поподробнее?

-- Вс дек 13, 2009 16:59:43 --

Почему в рациональных не существует?

[Ryabsky]

В рациональных точках функция Римана имеет разрыв первого рода. Поэтому разумнее всего исследовать её на непрерывность, откуда будет следовать доказываемое.
Идею исследования непрерывности боюсь соврать, но если мне не изменяет память, доказывать надо отталкиваясь от определения предела по Гейне. Разбивать на последовательности рациональных точек, иррациональных точек, смотреть что там будет получаться. Технику точно не помню, но идея примерно такая.

[ewert]

Перебор. Просто к иррациональным точкам не смогут приближаться рациональные с не слишком большими знаменателями. Просто потому что последних -- -- лишь конечное число.

А значит, если рациональные точки всё же приближаются -- то их знаменатели вынуждены стремиться к бесконечности. Ч.т.д.