Несобственные интегралы зависящие от параметра

[INDIGO1991]

Здравствуйте!

Задача:
Доказать тождество при $a>0$

$\int_{0}^{\infty}{\frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\frac{a}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{ \frac{e^{-x^2}}{x^2+a^2}dx }$

Левый интеграл серией замен $x^2=t; \sqrt{t+a^2}=z$
приводится к виду:
$\int_{a}^{\infty}{e^{a^2-z^2}dz}$

Подскажите пожалуйста, с чего начать упрощать правую часть.

з.ы.второй интеграл отличается от первого на множитель $x\sqrt{x^2+a^2}$
и т.е. есть такая мысль
$\int_{0}^{\infty}{\frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}= \lim\limits_{x_0->+\infty} {\xi_{x_0} \int_{0}^{x_0}{ \frac{e^{-x^2}}{x^2+a^2}dx }}$
тогда надо доказать что $\lim\limits_{x_0->+\infty}{\xi_{x_0}}=\frac{a}{\sqrt{\pi}}$
Но тоже не знаю что дальше с этим можно сделать.

[ewert]

Каждый интеграл после дифференцирования по параметру и потом интегрирования по частям сводится, в принципе, к самому себе (с какими-то добавками). Я бы попытался доказать, что они удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению. Ну а в нуле оба они равнны ${\sqrt{\pi}\over2}$.

[INDIGO1991]

идею понял буду пробовать

[INDIGO1991]

Что-то я застрял на взятии по частям.

После дифференцирования обоих частей:

$-\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{axe^{-x^2}}{ (x^2+a^2)^{3/2} }dx} =\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{e^{-x^2} (x^2 -a^2)}{\sqrt{\pi}(x^2+a^2)^2}dx}$

Может я все таки не понял идеи, но по каким бы частям я не брал слева получается интеграл с корнем а справа без, т.е. у меня не получилось свести.
=(

Зато получил из левого интеграла дифференциальное уравнение (о котором наверное вы говорили) (части $u=\frac{e^{-x^2}}{x^2+a^2}$ и $dv=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$) :
$3I'=-1/a +2I$

[ewert]

Хм. Ну попробуем.

$$I_1(a)=\int_0^{+\infty}{x\,e^{-x^2}\over\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}d\left(\sqrt{x^2+a^2}\right)=0-a+\int_0^{+\infty}2x\,e^{-x^2}\sqrt{x^2+a^2}\,dx;$$

$$I'_1(a)=-1+\int_0^{+\infty}2x\,e^{-x^2}{a\over\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=-1+2a\,I_1(a).$$

С правым -- примерно так же (интегрировать по частям надо в сторону арктангенса).

Дифур, кстати, легко решается, получается действительно эрфик: $\displaystyle I_1(a)=e^{a^2}\left({\sqrt\pi\over2}-\int_0^ae^{-t^2}dt\right)=\int_a^{+\infty}e^{a^2-t^2}dt$. Контроль: $\displaystyle I_1(a)\sim{1\over2a}$ при $a\to+\infty$, и это правда.

--------------------------------------------------------
Да, а ещё можно свести второй интеграл к тому же эрфику введением искусственного параметра в показатель экспоненты:

$$\int_0^{+\infty}{e^{-x^2}\over x^2+a^2}\,dx=\left.\int_0^{+\infty}{e^{-z(x^2+a^2)}\over x^2+a^2}\,dx\right|_{z=1}\cdot e^{a^2}.$$

Дифференцирование по $z$ убивает знаменатель и т.д.. Наверное, так и надо было.

[INDIGO1991]

итак, второй интеграл:

$$ \frac{a}{\sqrt{\pi}} \left\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{e^{-x^2} }{x^2+a^2}dx}$$

$u=e^{-x^2} dv= \frac{1}{x^2+a^2}$ - двигаемся в сторону арктангенса
тогда

$$ \frac{a}{\sqrt{\pi}}\left ( (\frac{1}{a}arctg(x/a)e^{-x^2}) |_{0}^{+\infty} + \frac{1}{a} \int\limits_{0}^{+\infty} {2xe^{-x^2}arctg(x/a)dx} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{+\infty}{2xarctg(x/a)e^{-x^2}dx}$$

Теперь дифференцируем по a:

$$I'_{2}= -\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{\infty}{\frac{2x^2e^{-x^2}}{a^2+x^2}dx}$$

И как бы опять ничего хорошего...

(Дольше пробовал брать по частям и делать замены, но как-то не сводится ни к производной ни к самой функции)

[ewert]

Ну как это ничего хорошего -- а прибавить и вычесть в числителе $2a^2$?...

[INDIGO1991]

Точно!!!
Спасибо.

Так получил тоже дифференциальное уравнение.
Убедился что правый и левый интеграл совпадают!

Еще раз спасибо.!

[ewert]

Попробуйте всё-таки второй интеграл ещё и вторым способом -- так логически проще (да, в общем, и технически).

[INDIGO1991]

Да там тоже вроди получается. Я щас еще посмотрю если не получится спрошу.

[INDIGO1991]

Так стоп.
Сейчас еще раз проверил и понял что мы не можем подставлять в интегралы 0 (во всяком случае во второй точно).
Во первых условие задачи запрещает, но это ограничение для левого интеграла не нужно.
Проблема со вторым для него ограничение необходимо (в ходе решения выплывали константы $\frac{1}{a}$). Да если бы и можно было подставлять, то там получается ноль, что не равно значению левого интеграла в 0, я видимо прозевал.
А если подставлять другие значения, то это всеравно что брать правый интеграл в лоб, что до этого сделать не получилось.

Если рассматривать второй способ, то там тоже дифференциальное уравнение получается и таже проблема при решении задачи Коши.

Вообщем, я не понимаю, почему константы после решения дифференциального уравнения для левого и правого интеграла равны. =(

[ewert]

Во втором (в нуле) нужна некая стандартная игра эпсилон-дельтами.

Если $a$ безумно мало, то вся подынтегральная функция практически сосредоточена лишь в малой окрестности нуля. Соответственно, для значения интеграла числитель практически неинтересен -- он практически равен единице. Вот и получаем в пределе арктангенс, который нам и нужен.

Для формализации этой идеи стандартно заменяем бесконечный верхний предел на некое $M(a)$, которое уменьшается при уменьшении $a$ (гарантируя стабилизацию числителя). Но не слишком быстро уменьшается, всё же много медленнее самого $a$ -- так, чтобы по этой области интеграл от "чистого знаменателя" (с учётом того же $a$ в числителе перед интенгралом) всё ж стремился к арктангенсу на бесконечности. Это возможно, там есть некоторый люфт, и в пределе получаем арктангенс на бесконечности.

Это корректно: числитель равномерно ограничен, и поэтому гордо игнорируемые нами хвосты стремятся к нулю.

Наверное, это не блещет эстетичностью, да и оптимизированностью наверняка. Но -- это первое, что приходит (и должно приходить) в голову, и это эффективно.

[INDIGO1991]

Тут проще.
Просто рассмотреть предел при $a->+0$ после того как взяли по частям и там все очевидно. =)

a \to +0: $a\to+0$

[INDIGO1991]

Возникла проблема с этим заданием. Там если рассматривать предел при а стремящемся к 0 в правом интеграле.
То если рассматривать предел от исходного выражения то там не понятно как считать.
А если после интегрирования по частям, то там проблема с тем что подынтыгральная функция, не непрерывна как функция 2 переменных в точке $(0,0)$. Соответственно интеграл и предел местами менять нельзя.
Подскажите, пожалуйста, что можно сделать.

[ewert]

Второй интеграл заменой $x=at$ сводится к $\displaystyle{1\over\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}{e^{-a^2t^2}\over t^2+1}\,dt$, и числитель стремится к единице при $a\to0$, причём снизу; этого достаточно для корректности предельного перехода.