Уравнение Лапласа. Правильность решения.

[Alexey1]

Подскажите ошибку в вычислениях.
$u_{xx}+u_{yy}=0, x^2+y^2<4$
$\partial_n u=\gamma(1-\frac{x^2}{2})+\beta y, x^2+y^2=4$
Переходим в полярные координаты
$u_{rr}+\frac{1}{r^2} u_{\theta \theta}+\frac{1}{r} u_r=0,0<r<2, 0<\theta<2\pi$
$\partial_n u=\gamma(1-\frac{4cos^2(\theta)}{2})+\beta 2sin(\theta)=-\gamma cos(2\theta)+2\beta sin(\theta), r=2$
Решая методом разделения переменных получаем
$u(r,\theta)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} r^n(A_n cos(n\theta)+B_n sin(n\theta))$
Дифференцируем по $r$
$\partial_nu=\frac{\partial u}{\partial r}|_{r=2}=\sum_{n=1}^{\infty}n2^{n-1}(A_ncos(n\theta)+B_nsin(n\theta)=-\gamma cos(2\theta)+2\beta sin(\theta)$
Отсюда следует, что
$A_2=-\frac{\gamma}{4}, B_1=2\beta$
Решение
$u(r,\theta)=\frac{A_0}{2}-\frac{\gamma r^2}{4} cos(2\theta)+2 \beta r sin(\theta)$

[ewert]

Не видать ошибок (по крайней мере принципиальных -- я внимательно не вчитывался).

А что $A_0$ произвольно -- так чего ж и удивляться, это ж задача Неймана, и Вы -- на её спектре.

[Alexey1]

Спасибо за ответ. Хочется проверить правильность решения. В декартовых координатах решение имеет вид $u(x,y)=\frac{A_0}{2}-\frac{\gamma (x^2-y^2)}{4}+2\beta y$
Отсюда
$u_x=-\frac{\gamma x}{2}$
$u_y=\frac{\gamma y}{2}+2\beta$
Правильно ли будет, то что направление нормали $(\frac{x}{2};\frac{y}{2})$? Наверное нет, так как в этом случае найденное решение не верно.

[ewert]

Почему, всё совпадает. Не забывайте, что на границе $x^2+y^2\equiv4$.

[Alexey1]

Действительно всё верно, спасибо.