О методе бесконечного спуска.

[dmd]

Задачу нахождения НОД двух чисел $A$ и $B$ можно представить как решение системы двух диофантовых уравнений $A=xz$ и $B=yz$, из которой нужно найти $z=(A,B)$. При этом заметьте, все действия алгоритма Евклида выполняются над свободными членами $A$ и $B$. В других вариантах применения спуска (мне известных до сего момента, поэтому и задал тот первый вопрос про применимость МБС) действия выполняются над мономами полинома уравнения без свободного члена, при этом действия выбираются на основе наблюдаемой делимости. Видимо, возможны и другие методы спуска.

Коровьев в сообщении #269263 писал(а):

Я уже писал в этой теме. Нельзя заставить появиться в доказательстве "методу бесконечного спуска". Он, метод, сам решает, где ему появиться, а где нет.

Если МБС не идёт к нам, то.. Предлагаю такой план действий. Сначала классифицировать все известные способы спуска. Затем к тестовому уравнению типа ${y^3} - 432 = {x^2}$ пытаться применить непротиворечивый сплав различных способов спуска. Может это конечно на грани пустопорожних фантазий, не судите строго если что.. Но сразу видно, что как минимум для применения алгоритма Евклида не хватает второго числа, т.е. либо нужно преобразование исходного уравнения в систему двух уравнений с двумя разными свободными членами, либо введение-подбор второго уравнения "свидетеля решения", либо применения алгоритма Евклида к делителям числа 432, либо..

[grisania]

dmd в сообщении #269312 писал(а):

-----------------------------
Если МБС не идёт к нам, то.. Предлагаю такой план действий. Сначала классифицировать все известные способы спуска. Затем к тестовому уравнению типа ${y^3} - 432 = {x^2}$ пытаться применить непротиворечивый сплав различных способов спуска. Может это конечно на грани пустопорожних фантазий, не судите строго если что.. Но сразу видно, что как минимум для применения алгоритма Евклида не хватает второго числа, т.е. либо нужно преобразование исходного уравнения в систему двух уравнений с двумя разными свободными членами, либо введение-подбор второго уравнения "свидетеля решения", либо применения алгоритма Евклида к делителям числа 432, либо..

А почему не попробовать организовать спуск для уравнения ${{x}^{3}}-432{{z}^{6}}={{y}^{3}}$ ? Есть три числа, а уж потом нащупать спуск для уравнени ${y^3} - 432 = {x^2}$.

[Коровьев]

grisania в сообщении #269960 писал(а):

А почему не попробовать организовать спуск для уравнения ${{x}^{3}}-432{{z}^{6}}={{y}^{3}}$ ? Есть три числа, а уж потом нащупать спуск для уравнени ${y^3} - 432 = {x^2}$.

Вряд ли получится. Я убеждён, что насильно мил не будешь. И потом, уж лучше искать решение БТФ для трёх, отличном от Эйлерова, в исходном виде.
Из книги Г.Эдвардс Последняя теорема Ферма.

Цитата:

Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма, и этим изобретением он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном незадолго до смерти, он подвёл итог своим открытиям в теории чисел и с полной определённостью заявил, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом. Коротко говоря, этот метод состоит в следующем: некоторые свойства или отношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удаётся доказать, что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для ещё меньших чисел, и т.д. — ad infinitum, — что невозможно, поскольку последовательность положительных целых чисел не может бесконечно убывать.

То есть. Начало стандартное: "Предположим, что существует..., тогда..." и получаем доказательство методом спуска.
Я тут просмотрел книгу Рибенбойма "Последняя теорема Ферма" для любителей (Ничего себе для любителей!) Там написано

Цитата:

Работа С.Рибета включала условное доказательство ПТФ методом спуска, связанное с представлением Галуа и модулярными формами

(Условное, потому что он исходил из недоказанной тогда гипотезы Шимуры-Таниямы. Её и доказал Уайлс.)
Прямо какой-то вездесущий метод. Везде пролезет.
*****

Отвлекусь.
Так кто же доказал БТФ?
1.Шимура и Танияма выдвинули гипотезу "Каждая эллиптическая кривая модулярна"
2.Фрей рассмотрел эллиптическую кривую связанную с БТФ и наметил идею метода, позволяющее получить противоречие, связанное с гипотезой Шимура-Танияма.
3. С.Рибет доказал БТФ используя кривую и идею Фрея из условия верности гипотезы Шимура-Танияма.
4.Уайлс доказал гипотезу Шимура-Танияма.
***
Уайлс, несомненно, сделал великий прорыв в математике, но как же другие. О них и не вспоминают.
Замечу. Эйлер доказал БТФ для трёх не полностью. Доказательство основной леммы он не привёл. Однако же...

[shwedka]

Коровьев в сообщении #270103 писал(а):

Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма

При всем почтении к Эдвардсу и Ферма, еще 2.5 тысячи лет назад Пифагорейцы доказывали то, что теперь называют иррациональностью корня из двух, тем, что теперь называют методом бесконечного спуска.

[Гаджимурат]

Коровьев в сообщении #270103 писал(а):

Отвлекусь.
Так кто же доказал БТФ?
1.Шимура и Танияма выдвинули гипотезу "Каждая эллиптическая кривая модулярна"
2.Фрей рассмотрел эллиптическую кривую связанную с БТФ и наметил идею метода, позволяющее получить противоречие, связанное с гипотезой Шимура-Танияма.
3. С.Рибет доказал БТФ используя кривую и идею Фрея из условия верности гипотезы Шимура-Танияма.
4.Уайлс доказал гипотезу Шимура-Танияма.
***
Уайлс, несомненно, сделал великий прорыв в математике, но как же другие. О них и не вспоминают.
Замечу. Эйлер доказал БТФ для трёх не полностью. Доказательство основной леммы он не привёл. Однако же...

Я считаю,что доказательство шло в следующем порядке:
П.Ферма(1637г.)-Г.Фрей(1984г.)-К.Риберт(1986г.)-Э.Уайлс(1995г.) и надо отдать должное и японцам: Шимура-Танияма.

[age]

dmd
К уравнению $y^3-432=x^2$ не может быть применен метод бесконечного спуска. И вообще ни к какому уравнению Морделла. Разве только через опосредование $y^3+x^3=(x+1)^3$. Но и это навряд ли, т.к. мы снова придем к уравнению Морделла.

-- Пт дек 11, 2009 23:03:38 --

Забавно вот что. Если мы будем рассматривать уравнение
$x^3+y^3=(x+a)^3$, где $a$ - фиксированный параметр, константа. То мы будем получать различные уравнения Морделла, каждое из которых будет иметь ровно одно решение. Отсюда также следует, что для каждого значения $a$, уравнение $x^3+y^3=(x+a)^3$ может иметь лишь ограниченное число решений. А как конъюнкция этих выражений - $x^3+y^3=z^3$ может также иметь лишь ограниченное число решений. Что противоречит однородности уравнения. (т.е. при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая тройка).

[shwedka]

age в сообщении #270427 писал(а):

А как конъюнкция этих выражений - $x^3+y^3=z^3$ может также иметь лишь ограниченное число решений

попробуйте доказать это утверждение.

[age]

shwedka
Ну поскольку мы берем любые $a$, и для каждого получаем какое-то уравнение Морделла, то пробегая для каждой пары $x,\ y$ все значения $a$ мы и получим требуемое утверждение.

Жаль только, что наверное, не из каждого $a$ можно получить уравнение Морделла. Не проверял.

-- Пт дек 11, 2009 23:16:36 --

Например, можно ли получить уравнение Морделла из уравнения $x^3+y^3=(x+37)^3$?

[shwedka]

age в сообщении #270438 писал(а):

Ну поскольку мы берем любые $a$, и для каждого получаем какое-то уравнение Морделла, то пробегая для каждой пары $x,\ y$ все значения $a$ мы и получим требуемое утверждение.

В качестве доказательства не годится. Поподробнее. Как именно Вы 'получаете требуемое утверждение'.

У нас бесконечно много уравнений. Если у каждого хотя бы одно решение, то сколько всего решений? Дается три попытки.

[age]

shwedka
Нет. Не так. Пусть при каком-то значении параметра $a$ существует решение уравнения $x^3+y^3=(x+a)^3$.
Но тогда последнее уравнение можно свести к некоторому уравнению Морделла $y^3-M=x^2$, где $M$ - некоторая константа.
В силу того, что последнее уравнение может иметь лишь ограниченное количество решений, а $x^3+y^3=(x+a)^3$ - любое бесконечное, то получаем противоречие. Но опять же все это гнилыми нитками шито.

[shwedka]

age в сообщении #270451 писал(а):

то получаем противоречие

Не показывате Вы этого противоречия. Маленькая экономия в словах приводит к большой потере в смысле.

Посему, утверждение про нитки сомнений у меня не вызывает.

[grisania]

Для положительных целых чисел не существует бесконечно убывающих последовательностей, поэтому для них не существует бесконечный спуск .
Хотя положительные рациональные числа можно упорядочить, но бесконечный спуск для рациональных чисел может привести к спуску к предельной точке на числовой оси, которая может быть не рациональным числом. В этом причина, что бесконечный спуск не проходит для рациональных чисел.

Туэ доказал замечательной результат, что неприводимое однородное диофантово уравнение степени больше двух $f(x,y)=c$
может иметь лишь конечное число решений в целых числах.
Следовательно, и уравнение $x^n+y^n=c^n$, а тогда подавно уравнение $x^3+y^3=c^3$ могут иметь лишь конечное число решений в целых числах.
Зная это, спуск приводит к абсурду - существованию бесконечного число решений.

[shwedka]

grisania в сообщении #270474 писал(а):

Зная это, спуск приводит к абсурду - существованию бесконечного число решений.

Не сочтите за труд, поясните подробнее, как спуск приводит к абсурду.

[grisania]

shwedka в сообщении #270480 писал(а):

grisania в сообщении #270474 писал(а):

Зная это, спуск приводит к абсурду - существованию бесконечного число решений.

Не сочтите за труд, поясните подробнее, как спуск приводит к абсурду.

Вы уже подловили на этом age, каюсь, ошибся, для фиксированного $c$ конечное число решений. Но можно выкрутится, перейдя к рациональным.
Известно

${x^3} + {y^3} = 1 \Leftrightarrow {y^3} - 432 = {x^2}$

в рациональных числах.
${y^3} - 432 = {x^2}$ - уравнение Морделла. Предположим, что него установлено существование конечного числа рациональных решений без сведения к уравнению Ферма ${x^3} + {y^3} = {z^3}$.
Тогда спуск порождает бесконечное число целых решений уравнения ${x^3} + {y^3} = {z^3}$ и, следовательно, бесконечное число рациональных решений уравнения ${y^3} - 432 = {x^2}$. Поэтому спуск приводит к абсурду.

Осталось малое, доказать помеченное синим цветом. Что скажут по этому поводу профи по кривулькам Морделла?
Замечу, что если существует хоть одно целое отличное от тривиального решение уравнения ${x^3} + {y^3} = {z^3}$, то можно породить из него бесконечное число целых решений, и, следовательно, рациональных уравнения ${x^3} + {y^3} = 1$.

[shwedka]

grisania в сообщении #270631 писал(а):

Тогда спуск порождает бесконечное число целых решений уравнения ${x^3} + {y^3} = {z^3}$

Сомневаюсь. Бесконечный спуск порождает бесконечно много решений уравнения, если спуск, действительно, бесконечный. Такое нужно старательно доказывать, выходя за пределы размахивания руками. И нужно при этом честно исключить ситуацию, когда и ни одного шага спуска сделать нельзя.