2D преобразование фурье

[kslyus]

решая физическую задачу про корреляцию флуктуаций натолкнулся на необходимость двухмерного фурье преобразования от $\frac1{a^2+x^2}$ т.е. нужно вычислить след. интеграл:

$\int\limites_{S_q} \frac{e^{-i\vec{R}\vec{q}}}{a^2+x^2} d\vec{q} $

в одномерном и трехмерном случае такое преобразование элементарно. В 3D преобразованием в полярные координаты, затем интеграл по углу, затем применяем вычиты и получаем результат. В 2D так решить нельзя. Как мне кажется, интеграл $\int e^{a\cos{x}} dx$ не берется.

Как можно решит такую задачу? Заранее спасибо за ответ.

[nestoklon]

kslyus в сообщении #270221 писал(а):

Как мне кажется, интеграл $\int e^{a\cos{x}} dx$ не берется.

Естественно не берётся.

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html писал(а):

$$J_n(z)=\frac{1}{2\pi i^n}\int_0^{2\pi} e^{iz\cos\phi}e^{i n \phi}d\phi$$

[kslyus]

nestoklon, спасибо

расписав двойной интеграл в повторный в полярных координатах находим:

$f(R) = \int_0^{\infty} \frac{J_0 (xR) x}{a^2+x^2}dx$

но а дальше? можно выразить зависимость $f(R)$ через элементарные функции?

[Gafield]

Как $x$ связано с $q$?

[kslyus]

б... сори. опечатка, везде x

$f(R) = \int_{S_x} \frac{e^{i\vec{R}\vec{x}}}{a^2+\vec{x}^2}d\vec{x}$

[nestoklon]

kslyus в сообщении #270293 писал(а):

но а дальше? можно выразить зависимость $f(R)$ через элементарные функции?

Да, этот интеграл берётся. Как берётся -- не знаю, мне это было неинтересно. Но эти интегралы есть в справочниках. Возьмите Рыжика или Прудников, Брычков, Марычев (тут он должен быть во втором томе в районе 2.12.3-4)

[V.V.]

$ \int_0^{\infty} \frac{J_0 (xR) x}{a^2+x^2}dx=K_0(aR)$,
где $K_0(z)$ - функция Макдональда нулевого порядка.

[kslyus]

nestoklon, V.V. спасибо. Вопрос решен.

PS: А мне нужно чаще в справочники смотреть.