О неравенстве Бернулли

[Sasha2]

Вот рассмотрим одну модификацию данного неравенства:
$(1+x)^\alpha\leq{1+{\alpha}x}$ $(0<\alpha<1)$ а $x>-1$
При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x=0$, а во всех остальных случаях неравенство носит исключительно строгий характер.

Вот возникает такой вопрос.
Рассмотрим множество таких $\beta$, что $(1+x)^\alpha\leq{1+{\beta}x}$ для всех $x>-1$.
Верно ли, что данное множество совпадает с $\alpha$.
Точнее, не могу пока понять, но, как то эти вопросы следует сформулировать применительно к точным верхней и нижней границам данного множества (ну понятно, что оно не пусто).

[Sonic86]

Sasha2 писал(а):

Точнее, не могу пока понять, но, как то эти вопросы следует сформулировать применительно к точным верхней и нижней границам данного множества (ну понятно, что оно не пусто).

Типа $\inf \{ \beta \} = \alpha$?
Рассмотрите кривую $y = (1+x)^{\alpha}$, найдите касательную в точке $x=0$. Потом ответьте на вопрос: сколько будет пересечений касательной с кривой, если ее пошевелить, но так, чтобы она все равно проходила через точку касания.

[Sasha2]

Ноль то, наверно здесь не самая критическая точка. При любом $\beta$ данное неравенство (превращающееся в равенство) будет справедливо в нуле.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #269939 писал(а):

Ноль то, наверно здесь не самая критическая точка.

Самая что ни на есть самая. Как минимум в нуле (где левая и правая части сходятся) непременно должна быть касательная, иначе неравенство заведомо выполняться не будет. То, что касательности и достаточно -- это уже вопрос следующего уровня (даже двух следующих).

[Sasha2]

Странно, мне почему то кажется, что оталкиваться нужно тут от следующей теоремы:

А именно:
Функция $y=x^{\alpha}-ax, a>0, x\geq{0}, 0<\alpha<1$ принимает наибольшее значение в точке $x_0=(\frac{a}{\alpha})^{\frac{1}{\alpha-1}}$, равное $y_0=(1-\alpha)(\frac{a}{\alpha})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$.

P.S. То есть вообще так с ходу нельзя сказать, допускает ли неравенство Бернулли усиление, или оно уже окончательное и "улучшению" не подлежит?

[ewert]

Да от какой угодно теоремы. Фактически наиболее разумно не выписывать разных загадочных крючков, а попросту указать на её выпуклость. Вследствие чего она лежит всюду ниже своей касательной.

Но -- не везде ниже для любой другой прямой. И это принципиально, это просто формула Тейлора. А ведь весь сыр-то и бор -- именно из-за этого.

[Sasha2]

Да спасибо, я уже тоже вижу, что угловой коэффициент прямой $1+\alpha{x}$ можно увеличивать в области от 0 до $+\infty$, и уменьшать в области от -1 до 0, чтобы неравенство оставалось справедливым во всей этой области

Но все равно даже чисто по графику видно, что есть область, куда можно впихнуть нечто большее $(1+x)^{\alpha}$ и нечто меньшее $1+\alpha{x}$.

Вот хотелось бы тогда понять, как можно улучть неравенство Бернулли, естественно получив такое же удобное и приятное на глаз выражение.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #269972 писал(а):

как можно улучть неравенство Бернулли,

Никак. С Тейлором не поспоришь.

[Sasha2]

Нет, Вы наверно имели в виду улучшение путем изменения коэффициента $\alpha$ в линейной функции. Тут да полностью согласен. А вообще?

[ewert]

что "вообще"?... какова постановка задачи?...

Некоторые способы улучшения очевидны. Например, переписать это неравенство зелёными чернилами. Говорят, благотворно влияет на зрение.