Сходимость ряда.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Здесь рассматривалось даже обобщение этого, а именно если отображение f из топологической группы, удовлетворяющей первой аксиоме счётности в топологическую группу А переводит фундаментальные произведения в фундаментальные, то если А архимедова, то f является ростком непрерывного гомоморфизма в единице группы. Верно и наоборот, если всякая такая функция является ростком непрерывного гомоморфизма, то топология А архимедова.

Мне кажется, что из указанного Вами факта трудно (если вообще возможно) получить доказательство Вами же предложенной теоремы, я же стремился быть в точности в русле обсуждения. Из выписанного мной утверждения эта теорема сразу следует, причем уточняется вид многочлена.

[Руст]

А это относится совершенно к другому классу задач. И она верна в поле комплексных чисел и не верно в R. Тут важно не связь линейной структуры с топологией, а связь кольцевой структуры с топологией. А именно если комплексная функция f из С в С такая, что каждый раз из сходимости всех рядов (при всех натуральных k) R(k) следует сходимость R(f), то f является полиномом в некоторой окрестности 0 и f(0)=0.

[Brukvalub]

Обозначения вида f(x) немного сбивают с толку- я сам занимаюсь ТФКП и привык обозначать комплексный аргумент как f(z) , f(w) и т.п. Поэтому я воспринимал Вашу постановку задачи как исследование вещественнозначного ограничения комплексного ростка на окрестность нуля в R - тогда у меня все проходит. Поэтому осталась непонятной лишь одна Ваша фраза из предыдущего сообщения:
...И она верна в поле комплексных чисел и не верно в R. ...

[Руст]

Дело в том, что в R из сходимости ряда (R(1)) и сходимости ряда из квадратов членов (R(2)) следует сходимость и всех степеней. Но функция которая переводит сходящийся ряд вместе со своим квадратом в сходящийся не обязан быть полиномом. Например функция f(x)=exp(x)-1 удовлетворяет этому свойству.

[Brukvalub]

Brukvalub писал(а):

Руст писал(а):

Обозначим для натурального k через

$$R(k)=\sum_n a_n^k.$$

и для аналитической функции f(x), f(0)=0 ряд :

$$R(f)=\sum_n f(a_n)$$

... Предлагаю ещё задачу, раскрывающую связь полиномиальных функций с рядами. Пусть для комплексной аналитической функции f(x), f(0)=0 ряд R(f) cходится, когда сходятся все R(k). Докажите, что f(x) полином...

Известно, что верно более сильное, как мне кажется, утверждение: если для функции $f:\;R \to R$ ряд $\sum {f(a_n )} $ сходится всякий раз, когда сходится ряд $\sum {a_n } $, то $f(x) = Cx$ в некоторой окрестности нуля.

После чего Руст писал:
"Дело в том, что в R из сходимости ряда (R(1)) и сходимости ряда из квадратов членов (R(2)) следует сходимость и всех степеней. Но функция которая переводит сходящийся ряд вместе со своим квадратом в сходящийся не обязан быть полиномом. Например функция f(x)=exp(x)-1 удовлетворяет этому свойству."
Осталось выяснить, с какой линейной функцией совпадает (именно совпадает, а не просто отличается на бесконечно малую высокого порядка!) функция f(x)=exp(x)-1 в окрестности нуля?

[Brukvalub]

Сразу же сам отвечу на свой, заданный в предыдущем сообщении вопрос (поскольку в ближайшие 5-6 дней буду оторван от интернета и не смогу в это время продолжить обсуждение): как мне кажется, функция f(x)=exp(x)-1 не совпадает поточечно ни с какой линейной функцией в произвольной окрестности нуля. Хотелось бы понять, как можно разрешить получившееся противоречие между высказанными Рустом и мной утверждениями (в правильности указанной мной теоремы я уверен, поскольку знаю ее доказательство, и оно не вызывает у меня сомнений).

[Руст]

Здесь нет никакого противоречия. f линейная функция если для любого сходящего ряда сходя ряд R(f). Однако отнюдь не для всех сходящихся рядов сходится ряд из квадратов из членов ряда, т.е. рядов сходящихся вместе с свойством R(2) мало, и из сходимости только для них R(f) не следует, что f линейная функция.