Замкнутость множества

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить задачу.

Даны выпуклые функции $\[{g_i}:{\mathbb{R}^n} \to \mathbb{R}{\text{ }}i = \overline {1,m} \]$ и соответствующее множество $\[S = \left\{ {x|{g_i}\left( x \right) \leqslant 0{\text{ }}\forall i = \overline {1,m} } \right\}\] $. Доказать замкнутость множества $\[P = \left\{ {p|p = \sum\limits_{i \in I\left( x \right)} {{\lambda _i}\partial {g_i}\left( x \right)} ,{\lambda _i} \geqslant 0{\text{ }}\forall i = \overline {1,m} } \right\}\]$, где $\[{\partial {g_i}\left( x \right)}\]$ - субдифференциал функции $\[{{g_i}\left( x \right)}\]$, $\[{I\left( x \right)}\] $ - множество активных индексов. (Надо как-то использовать условие Слейтера (подсказка, типа), которое означает, что существует точка из $S$, такая, что $\[{{g_i}\left( x \right) < 0{\text{ }}\forall i = \overline {1,m} }\]$. А еще, как я понимаю, считаем, что $x$ - фиксировано). Вот.

Ну, начало доказательства таких вещей стандартно - берем точку прикосновения этого множества - $p^*$, значит к ней существует сходящаяся последовательность из $P$. Надо доказать, что $p^* \in P$. Это означает, что существует последовательности лямбд и векторов из субдифференциалов. В принципе - на открытом выпуклом множестве в любой его точке субдифференциал выпуклой фукнции есть замкнутое множество... Но тут еще лямбды...