Помогите найти интеграл (ТФКП)

[RIP]

А мне вот интересно, какую именно функцию и по какому контуру мы здесь интегрируем. Ведь для $e^{icz}$ при $c>0$ надо интегрировать по верхней полуокружности, а при $c<0$ --- по нижней. Я к тому, что если и считать через комплексное интегрирование, а не сведЕнием к интегралу Дирихле, то интегрировать надо не $\left(\frac{\sin z}z\right)^4$, а немного другую функцию.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #269305 писал(а):

А мне вот интересно, какую именно функцию и по какому контуру мы здесь интегрируем. Ведь для $e^{icz}$ при $c>0$ надо интегрировать по верхней полуокружности, а при $c<0$ --- по нижней.

Так разве интеграл по верхней плюс интеграл по нижней не вычисляется через сумму вычетов внутри? Если знаем по верхней и вычеты, то знаем и по нижней, я так думал.

(Оффтоп)

Забыл ТФКП очень сильно. Зря я, наверное, начал что-то советовать

[RIP]

Да, можно и так.

-- Ср 09.12.2009 09:21:30 --

Тогда непонятно, о каких полюсах идёт спор. В таком способе вообще нет никаких полюсов (на контуре).

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #269307 писал(а):

Так разве интеграл по верхней плюс интеграл по нижней не вычисляется через сумму вычетов внутри? Если знаем по верхней и вычеты, то знаем и по нижней, я так думал.

Не так. По верхней полуокружности интеграл берётся от одних экспонент, а по нижней -- от других. И вычеты для них -- разные, в т.ч. берутся с разными знаками..

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #269310 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #269307 писал(а):

Так разве интеграл по верхней плюс интеграл по нижней не вычисляется через сумму вычетов внутри? Если знаем по верхней и вычеты, то знаем и по нижней, я так думал.

Не так. По верхней полуокружности интеграл берётся от одних экспонент, а по нижней -- от других. И вычеты для них -- разные, в т.ч. берутся с разными знаками..

Да экспоненты вроде те же самые: $e^{4iz}$ и $e^{-4iz}$, $e^{2iz}$ и $e^{-2iz}$. Но это, кстати, неважно. Важно то, что мы знаем, к чему стремится интеграл по любой из полуокружностей, как верхней, так и нижней.

-- Ср дек 09, 2009 12:43:28 --

Тут надо только посчитать, к чему приводит обход полюса по маленькой полуокружности (для одних экспонент сверху, для других снизу). Остальное вроде как очевидно.

[ewert]

Ну знаем. Только что толку-то? Эти экспоненты нельзя ведь просчитывать по отдельности.

-- Ср дек 09, 2009 10:46:51 --

Профессор Снэйп в сообщении #269314 писал(а):

Тут надо только посчитать, к чему приводит обход полюса по маленькой полуокружности (для одних экспонент сверху, для других снизу).

К бесконечностям.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #269315 писал(а):

К бесконечностям.

Как такое может быть? Ведь интеграл по большой полуокружности стремится к нулю, интеграл по действительной прямой конечен, а в сумме всё даёт ноль?

[ewert]

, а по отдельности каждая экспонента даст -- бесконечность (и по оси, и по маленькой полуокружности). А в сумме -- да, ноль.

Ладно. Уговорили, давайте в лоб. Интегрировать надо вещественную часть от выражения ${1\over8z^4}(3-4e^{2iz}+e^{4iz})$, первые три члена разложения которого суть

$${1\over8z^4}\left[-4\left(2iz-{4z^2\over2}-{8iz^3\over6}\right)+\left(4iz-{16z^2\over2}-{64iz^3\over6}\right)\right].$$

Минус третья степень по полуокружности даст ноль. Противные минус вторые -- слава богу, сократятся. Ну а минус первые действительно дадут полвычета.