Порядок 1+x в Z2[x]/((x^n-1)/(x-1)^b) делится на n?

[Sonic86]

В $\mathbb{Z}_2[x]/(g(x))$, где $g(x)=\frac{x^n-1}{(x-1)^{2^a}}, a=ord_2(n)$ для $T: \ (1+x)^T \equiv 1 (\mod g(x))$ верно ли, что $n | T$?

[Sonic86]

Блин, подскажите хоть мало-мальскую идею! Насколько я понял, надо как-то специфику кольца использовать, просто из групповых свойств умножения это не следует.
Хотя бы для того случая, когда $Z_2[x]/(g(x))$ - конечное поле!

[maxal]

Уточните задание.
По-видимому, вместо $(x-1)^{2^a}$ должно быть $(x^2-1)^a$; в противном случае либо $g(x)$ не будет полиномом, либо этот полином не будет взаимно прост с $(1+x)$, и вопрос не будет иметь смысла.

[Sonic86]

maxal писал(а):

Уточните задание.

Def:$g(x)$ - это $x^n-1$, свободный от множителей $x-1$.
Пусть $n=2^an_1, n_1$ - нечетное. Тогда в $\mathbb{Z}_2[x]$
$(x^{n_1}-1)^{2^k}=(x^{2n_1}-1)^{2^{k-1}}$, откуда по индукции $x^n-1=(x^{n_1}-1)^{2^a}=(x-1)^{2^a}(x^{n_1-1}+...+1)^{2^a}$. Второй многочлен содержит нечетное число слагаемых, поэтому на $x-1$ не делится.
Тогда $g(x)=(x^{n_1-1}+...+1)^{2^a}=\frac{x^n-1}{(x-1)^{2^a}}$.
Правильно

-- Ср дек 09, 2009 08:13:06 --

Например $x^4-1=(x-1)^4$ и тогда $g(x)=1$.

[maxal]

Да, характеристику 2 я как-то не заметил. Кроме того, смутило различие в написаниях $x-1$ и $x+1$ (хотя это одно и то же).
Попробуйте переформулировать задачу как $\gcd((x+1)^T+1,x^n+1)=g(x)$ поиграться с заменами $x\mapsto x+1$.

[Sonic86]

Что-то не очень помогает. Получилось почти что то же самое. У Вас получилось?
Вчера тупо применил бином Ньютона, получилась система из $n-1$ сравнений с биномиальными коэффициентами. Попытался понять и уснул ...

[Sonic86]

Получилось:
$(\forall k) \sum\limits_{0 \leq r \leq \frac{T}{n}} C_T^{k+nr} \equiv a (\mod 2)$
$a \in \mathbb{Z}_2, 0 \leq k \leq n-1$.
Отсюда надо попробовать вывести, что $n|T$

[maxal]

Задача уже обсуждалась тут: post28763.html#p28763
Эту тему закрываю.