2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Математическая физика (обобщенные функции)
Сообщение08.12.2009, 15:57 
Здравствуйте.
Никак не могу разобраться с таким заданием:
нужно доказать, что функция $\exp(x)$ не принадлежит классу обобщенных функций медленного роста. Идея решения в том, чтобы подобрать такую основную функцию медленного роста, чтобы действие $\exp(x)$ на нее (а так как экспонента - регулярная обобщенная функция, то интеграл от $\exp(x)$, умноженной на эту основную функцию) давало расходящийся интеграл при $x\to\infty$

 !  от модератора AD:
Слил две одинаковые темы в одну эту.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 16:32 
Правильная идея.
Цитата:
давало расходящийся интеграл при $x\to\infty$

Просто расходящийся интеграл.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 17:27 
Gafield
Да, я знаю, что идея правильная. А какую функцию брать?

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 18:16 
При желании можно и явную указать, однако необязательно это делать. Можно взять любую неотрицательную $f\in S(\mathbb R)$, равную при $|x|\ge1$...
Cкажем, такую, чтобы подинтегральное выражение к нулю не стремилось при $x\to+\infty$.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 18:30 
Gafield в сообщении #269155 писал(а):
Можно взять любую неотрицательную $f\in S(\mathbb R)$, равную при $|x|\ge1$...

Уточните, пожалуйста, равную чему?

-- Вт дек 08, 2009 19:25:49 --

Можно ли взять в качестве этой функции $-0,5|x|$, тогда интеграл от $exp(x)*(-0,5x)$ будет расходиться?

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 19:32 
Gafield в сообщении #269155 писал(а):
Можно взять любую неотрицательную $f\in S(\mathbb R)$, равную при $|x|\ge1$...

Уточните, пожалуйста, равную чему?

-- Вт дек 08, 2009 19:25:49 --

Можно ли взять в качестве этой основной функции $exp(-0,5|x|)$? Так интеграл от $exp(x)*exp(-0,5|x|)$ вроде как расходится.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 19:40 
Можно, и даже $e^{-|x|}$, только при $|x|\ge1$.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 20:16 
Gafield
Спасибо Вам большое!

У меня еще вопрос.
Т.к. $D$ (множество основных функций) плотно в $S$ (множество основных функций медленного роста), то можно взять последовательность функций из $D$, предел которых лежит в $S$, и подействовать на них экспонентой, и в результате получить противоречие с леммой Шварца.
Какую последовательность можно взять?

Лемма Шварца:
Для того, чтобы линейный функционал $f$ на $S$ принадлежал $S'$ (т.е. был непрерывным на $S$), необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа $C>0$ и $p>=0$, $p$ - целое, что для любой $\phi\in S$ справедливо неравенство
$|(f, \phi)| <=C||\phi||_p$,
где $||\phi||_p = sup(1+|x|)^p|D^\alpha\phi(x)|$, супремум по $|\alpha|<=p,  x<=R^n$

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 22:15 
Берем неотрицательную шапочку $\phi$ и начинаем сдвигать вправо: $\phi_n(x)=\phi(x-n)$, $n=1,2,\ldots$. Пусть для какого-то $p$ неравенство верно. Тогда норма $\|\phi_n\|_p$ растет степенным образом при $n\to\infty$, а $(\exp,\phi_n)$ экспоненциально.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 22:52 
Большое спасибо за активность. Непонятно, почему норма основной функции будет расти полиномиально. Судя по графику первой производной "шапочки", в точке {0} (если ее не сдвигать. В сдвинутых точках, понятно, будет то же) она обнуляется. Поэтому сколько не бери модель от производной. все равно в точке {0}, она 0. Поправьте меня, пожалуйста, если я не прав =)

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 23:03 
А почему в нуле? Супремум берется по прямой. При сдвиге множитель $(1+|x|)^p$ полиномиально растет. Скажем, если ${\text supp}\, \phi\in[-1,1]$ и $\|\phi\|_p=C$, то $\|\phi_n\|_p\le C (n+1)^p$.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение08.12.2009, 23:24 
Да, точно. Большое Вам спасибо!!!!

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение09.12.2009, 02:02 
Идея то достаточно банальная, а именно построим функцию $\varphi (x)$ которая убывает как экспонента :
Например, пусть $ \varphi(x) = \exp(-x)$, при $ $x > 1 $$. На остальные значения продолжим по непрерывности, усредним, разбиваем единицу и умножаем на бесконечно дифференцируемую срезку нужные части. В итоге получаем нужную функцию.

 
 
 
 Re: Математическая физика
Сообщение09.12.2009, 23:16 
Ставьте слеши перед тригонометрическими функциями: $sinx$ vs. $\sin x$.
Код:
$expx$ vs. $\exp x$.
Зведочка обозначает свёртку, не используйте ее вместо умножения, хочется умножить - используйте "$\cdot$" или "$\times$"
Код:
"$\cdot$" или "$\times$"
Бесконечность пишется так: $\infty$
Код:
$\infty$

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group