Школьная олимпиадная задача(12 класс).

[likusta]

Задача: На каком расстояние от круглого стола над центром надо расположить лампочку, так чтобы $I$ было наибольшее, если радиус стола а? $I=(k*sin(b)/(r^2)$. $b$- угол между плоскостью и падающим лучом. $k$- "сила" падающего луча. $r$-расстояние от источника до края стола.
Решить её мне не удалось, но что то получилось.
k=const
a=const
Можем не учитывать.
За радиус стола берем 1.
Выражаем расстояние от источника до края.
$r^2=1^2+1*tg^2(b)$
$I=sin(b)/(1+tg^2(b))$
$I=sin(b)*cos^2(b)$
Далее понимаем, что все величины взаимно связаны.
Дальше не знаю, что делать. Надеюсь, что направите или переправите.

[vmg]

Пусть $x$ - расстояние. Тогда
$x^2+a^2=r^2$,
$sinb=x/r=x/{\sqrt{x^2+a^2}}$,
$I(x)=ksinb/{r^2}=kx/{(x^2+a^2)^{3/2}}$.
Дальше исследование с помощью производной.
Успехов.

[gris]

Я понял, что Вам нужно найти максимум освещённости на краю стола?
Ну так Вы уже нашли её, как функцию от $b$. Косинус квадрат выражаем через синус квадрат и получаем уже функцию от $t=\sin b$ - кубический двучлен, максимум которого на отрезке $[0;1]$ найти несложно. Через синус найдём и расстояние.

[likusta]

Спасибо за советы.
$I=sina-sin^3a$
$I=t-t^3$
$t=[0;1]$
Вот что получилось и я должен найти наибольшую положительную разницу. К сожалению, в школе мы еще не проходили пределов, интегралов и производных. Поэтому, если вас не затруднит, объясните мне как здесь найти максимальное значение.

[gris]

Оптика проходится в 11 классе. Нахождение максимума многочлена через производные в десятом. У Вас задания для какого класса?

Может быть тогда вернуться с тригонометрии и попробовать преобразовать выражение к чему-то, где ясно виден максимум?

[likusta]

gris в сообщении #269117 писал(а):

Оптика проходится в 11 классе. Нахождение максимума многочлена через производные в десятом. У Вас задания для какого класса?

12 класс. У нас другая программа. Я живу в Латвии. Всему этому учат только в университете. Некоторые темы проходим более подробно, больше дифференцированных заданий. Оптику мы проходим почти каждый год. Попробую преобразовать или разобраться с производными. Второй вариант скорее всего перспективней.