Стержень Эйлера. Не могу разобраться в примере

[lioness]

Здравствуйте, у меня возникла проблема.
Мне задали прочитать книжку и разобрать "элементарный" пример.
Вроде бы написано элементарный, но как-то для меня он вызвал существенные затруднения.
Во-первых не пойму что за W,xxxx - видимо четвертая производная, а во-вторых самый важный момент, как взять dv/dt от интеграла содержащего сложные функции, вроде бы считала на черновиках по правилам, но почему знаки меняются так и не поняла.
Если кто-нибудь сможет мне подсказать буду очень благодарна.
Сам пример прикрепляю
Увеличенный http://allmatematika.ru/e107_files/publ ... _00000.jpg
А вот мой ход решения
Увеличенный http://allmatematika.ru/e107_files/publ ... _00001.jpg
Увеличенный http://allmatematika.ru/e107_files/publ ... _00002.jpg
Увеличенный http://allmatematika.ru/e107_files/publ ... _00003.jpg

[Zai]

Пример Ваш не самый простой. Рассмотрите следующие граничные условия $w(0,t)=0, \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}(0,t)=0,w(1,t)=0, \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}(1,t)=0$
Решение Вашего уравнения$\frac {\partial ^4W} {\partial x^4}+\lambda \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}+\frac {\partial ^2W} {\partial t^2}=0$ имеет вид
$w(x,t)=u(t) \sin \pi n x $ или $w расходится при $\lambda >(\pi n)^2$
В МКЭ член уравнения $\lambda \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}$ называется геометрической жесткостью. Он отвечает за сжатие - растяжение стержня. При растяжении $\lambda <0 $ он увеличивает жесткость, что Вы можите самостоятельно проверить увеличивая натяжение струны - частота собственных колебаний возрастает. В случае с стержнем Эйлера частоты сначала понижаются, а затем начинается неустойчивость. Для консольно закрепленного стержня я решал эту задачу МКЭ ( сайт http://www.e-strength.ru , slide 18 Pipeline vibration, ”rubber hose – effect”(1996г.)).

[lioness]

Zai в сообщении #268928 писал(а):

Пример Ваш не самый простой. Рассмотрите следующие граничные условия $w(0,t)=0, \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}(0,t)=0,w(1,t)=0, \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}(1,t)=0$
Решение Вашего уравнения$\frac {\partial ^4W} {\partial x^4}+\lambda \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}+\frac {\partial ^2W} {\partial t^2}=0$ имеет вид
$w(x,t)=u(t) \sin \pi n x $ или $w расходится при $\lambda >(\pi n)^2$
В МКЭ член уравнения $\lambda \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}$ называется геометрической жесткостью. Он отвечает за сжатие - растяжение стержня. При растяжении $\lambda <0 $ он увеличивает жесткость, что Вы можите самостоятельно проверить увеличивая натяжение струны - частота собственных колебаний возрастает. В случае с стержнем Эйлера частоты сначала понижаются, а затем начинается неустойчивость. Для консольно закрепленного стержня я решал эту задачу МКЭ ( сайт http://www.e-strength.ru , slide 18 Pipeline vibration, ”rubber hose – effect”(1996г.)).

Спасибо за комментарий. На счет обозначений значит вопрос отпал, действительно просто другое обозначение. С граничными условиями тоже понятно расписываются на краях интервала 0 и 1.
Что касается расхождения это логично если $\lambda >(\pi n)^2$ то тогда у нас во втором слагаемом скобка станет отрицательной. На счет геометрической жесткости обязательно почитаю, думаю будет полезно понимать какие параметры что обозначают...
А вот со взятие производной до сих пор вопрос. Мы должны доказать что V не возрастает по времени t. Именно поэтому берем производную по t.
Но вопрос в другом почему именно для исследования устойчивости рассматривается функционал типа $v(z)=integral[(d^{2}w^{2})/(dx^{2})-L(dw^{2}/dx)+(dw^{2}/dt)]$
У меня идея что с минусом так как проверяется случай когда именно жесткость меняет знак т.е. вроде бы меняет положение устойчивости. (надеюсь правильно излагаю свою мысль, так как механика для меня далека на данный момент совсем )
Если допустим это даже так то почему когда мы берем производную от этого выражения (я пыталась рассчитывать ее через полную производную) вдруг знаки меняются таким интересным образом. У меня совсем не так получилось, на числа я еще такие более менее вышла (путем подгона =)) а вот со знаками вообще трагедия...
Поэтому здесь или так влияет эта геометрическая жесткость, либо как то по особенному нужно считать производную от интеграла со сложными функциями.