Дискретное вероятностное пространство (задача)

[nemoart]

Условие задачи: Монета бросается до первого появления герба. Доказать, что элементарному событию $\omega_n$, состоящему в $n$ бросаниях монеты, можно приписать вероятность $p_n=\frac 1 {2^n}$. Найти вероятность того что:
1. Потребуется не менее двух бросаний;
2. Потребуется не четное количество бросаний.

Мои рассуждения:

$$\Omega=\left\{ \omega : \omega=(\omega_1, \omega_2, \dots) , \omega_i=0|1 \right\}$$

Присвоим элементарным событиям следующие вероятности:
$ \begin{array}{c} \omega_i \\ p_i \end{array} $ $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 01 & 001 \\ \frac 1 2 & \frac1 4 & \frac 1 8 \end{array} \right) $
проверим:
$p_1+p_2+ \dots = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac 1 {2^i} = 1$; Доказали (?)

1.перейдем к обратному событию: потребуется ровно одно бросание.
$P(A)=\frac 1 2$ $\Rightarrow$ $P(\overline A)=1-\frac 1 2=\frac 1 2$

2. Наше событие A имеет вид

$$A= \left\{ \omega_1, \omega_3, \omega_5, \dots \right\}$$

Вероятность этого события равна
$P(A)=p_1+p_3+p_5+ \dots = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac 1 {2^{2i-1}}=\frac 2 3$

Все верно?

[Sonic86]

Да, только у Вас в матрице почему-то 3 столбца, а не $+ \infty$.

[ewert]

nemoart в сообщении #268875 писал(а):

$$\Omega=\left\{ \omega : \omega=(\omega_1, \omega_2, \dots) , \omega_i=0|1 \right\}$$

И что это значит?...
Фактически $\Omega$ по условию задачи -- это $\mathbb N$.

nemoart в сообщении #268875 писал(а):

Присвоим элементарным событиям следующие вероятности:
$ \begin{array}{c} \omega_i \\ p_i \end{array} $ $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 01 & 001 \\ \frac 1 2 & \frac1 4 & \frac 1 8 \end{array} \right) $
проверим:
$p_1+p_2+ \dots = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac 1 {2^i} = 1$; Доказали (?)

Ничего не доказали, всего лишь проверили нормировку. Из этого ещё не следует, что сами вероятности правильны.

[Anka]

Подскажите, а как доказать, что сумма ряда все таки равна 1??? У меня только в этом загвоздка!!

[PAV]

Содержательно Вам нужно доказать, что при таком способе задания вероятностей монеты оказываются правильными и результаты бросаний разных монет статистически независимы. Потому что именно эти условия изначально подразумеваются в эксперименте.

-- Ср дек 16, 2009 09:38:33 --

Anka в сообщении #271938 писал(а):

Подскажите, а как доказать, что сумма ряда все таки равна 1??? У меня только в этом загвоздка!!

Геометрическая прогрессия