Вычислить несобственный интеграл

[MTV]

$$I(n,b) = \int\limits_0^{+\infty} x^{2n}e^{-x^2}\cos{2bx}\, dx,~~~~~~ n \in \mathbb{N}$$

Продифференцируем интеграл по параметру $b$.
$I'_b(n,b) = -2 \int\limits_0^{+\infty} x^{2n+1}e^{-x^2}\sin{2bx}\,dx$
Если совсем честно, то правильнее было бы записать интеграл в виде $\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}(...)$, чтобы можно было смело дифференцировать (или я ошибаюсь?).
После взятия интеграла по частям (если требуются выкладки, предоставлю), все полученное хозяйство можно выразить через исходный интеграл. В итоге имеем:
$I'_b(n,b) = -\frac{2n+1}{b}I(n,b) + \frac{2}{b}I(n+1,b)$
При $n=0$ интеграл я уже вычислил:
$I(0,b) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^2}$

Кстати говоря, если брать исходный интеграл $I(n,b)$ 2 раза по частям, получится страшноватая формула, где $I(n,b)$ выражается через $I(n+1,b)$ и $I(n-1,b)$. Теоретически возможно решить и рекуррентное уравнение, однако мне известно только лишь одно начальное условие.

Нескромный вопрос: как в конечном итоге довести интеграл до ответа?
Автор примера утверждает, что $I(n,b) = (-1)^n \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+1}}\frac{d^{2n}}{db^{2n}}(e^{-b^2})$

[ewert]

Запишите $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos(2bx)\,dx$ как $\displaystyle {1\over4}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2+2ibx}dx={1\over4}\sqrt{\pi}\cdot e^{-b^2}$.
Потом продифференцируйте это $2n$ раз по $b$.
(Арифметику не проверял.)

[MTV]

Ну, в комплексную форму поди ка не шибко обязательно переводить, можно и так продифференцировать.
За идею спасибо, и правда все очевидно получается!
Только вот вопрос: по всяческим теоремам мы можем дифференцировать ф-ию под интегралом лишь тогда, когда она непрерывна на заданном множестве и интеграл из производных сходится равномерно. Насколько я понимаю, исходный интеграл в теорему вроде как не вписывается из за разрывности функции при $x=0$.
Если записать интеграл в указанной мною выше предельной форме, могу ли я применить теорему и продифференцировать?

[ewert]

Ну, поскольку исходный интеграл (до дифференцирования) сходится ну просто безумно быстро, и после любых дифференцирований эта безумность сохраняется -- то какие вопросы.

(правда, с какого-то перепугу я зачем-то заменил ${1\over2}$ на ${1\over4}$, и вроде напрасно, но вдумываться всё равно лень)