Разложить функцию по степеня в ряд Тейлора или Лорана (ТФКП)

[rar]

Разложить функцию $f(z)=\frac{z^2+3}{z^2+2z}$ по степеням $(z-1)$ в ряд Тейлора или Лорана во всех областях на плоскости, где такое разложение возможно.

Вот не знаю как делать. Помогите советами или примерчиками какими-нибудь.


Спасибо.

[Sonic86]

Удобно сделать замену $w=z-1$, а можно и так выделить. Разложите сначала дробь на простые слагаемые, затем выделите в $C$-плоскости области, где можно будет построить ряд (с учетом $z_0=1$), а затем постройте разложения, используя формулу бесконечной геометрической прогрессии.

[ewert]

Каждую простейшую разложите в сумму геометрической прогрессии. А вот по степеням чего -- $w$ или $w^{-1}$ -- зависит (для каждлй дроби) от области. Плоскость распадается на три области: круг с центром в нуле до ближайшего полюс, кольцо между полюсами и оставшаяся внешность круга.

[rar]

А похожий примерчик с разьеснениями не подкинете?

[Sonic86]

Например, $f(z)= \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}$ разложить в точке $z_0=0$.
$0,1$ - полюсы 1-о порядка.
$\mathbb{C}$ разбивается на 2 кольца: $K_1:0 < |z| < 1$ и $K_2:|z|>1$.
В $K_1$ $f(z)= - \frac{1}{z} - 1-z-z^2-...$.
В $K_2$ $f(z)=- \frac{1}{z} + \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-1/z} =- \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2}+ ... = ...$.

Вам, ессно, надо все подробнее написать и с пояснениями.