Найти все комплексные значения выражений

[rar]

Условие такое: найти все комплексные значения следующих выражений и изобразить их на комплексной плоскости.

$i^i$
$\sin{i}$

Вопрос:
Что значит найти все комплексные значения выражения? Это значит представить данное комплексное число в алгебраической форме $z=x+iy$ и показать эти точки на комплексной плосоксти?

Не пойму никак.

[gris]

Ну синус онднозначная функция, а вот степень многозначна. Через логарифм её.

[Профессор Снэйп]

$$ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} $$

$$ i^i = e^{i \cdot \mathrm{Ln}(i)} = e^{i \cdot i(\pi/2 + 2\pi k)}, \,\,\, k \in \mathbb{Z} $$

[ewert]

Интересно, а как это можно "изобразить все $i^i$ на комплексной плоскости"? Там и двух-то толком не изобразишь.

[rar]

Меня вот это интересует:

$$i^i=e^{i Ln i}=e^{i(\ln{|i|}+i\pi/2+2k\pi i)}, k=0,\pm 1\pm 2, ...$$

Во первых, что делать с $\ln{|i|}$?

Во вторых, получается бесконечно много корней.

В третьих, мне ещё надо как эти числа изобразить на комплексной плоскости.

Короче, совсем запутался я с этой задачей. Помогите пожалуйста.

[Sonic86]

Чему равно $|i|$?

[rar]

Sonic86 в сообщении #268664 писал(а):

Чему равно $|i|$?

В том-то и дело, что не знаю... НЕ поможете разобраться?

[Sonic86]

Блин, $|a+bi|= \sqrt{a^2+b^2}$.

[rar]

Понял!

$$i^i=e^{i Ln i}=e^{i(\ln{|i|}+i\pi/2+2k\pi i)}=e^{-\pi/2+2k\pi}, k=0,\pm 1\pm 2, ...$$

Но тут я впадаю в ступор! Как же изображать на комплексной плоскости. Во первых, чисел бесконечное множество.

[Sonic86]

Ну Вам придется нарисовать 2-3 точки на плоскости в соответствующем масштабе и указать кривой, проходящей через них, куда уходят остальные точки для $k>0$. Для $k<0$ последовательность точек аккуратно приближается к нулю - можно еще 2-3 точки нарисовать и тоже кривой показать, что они уходят в нуль.

[rar]

$k=0, e^{-\pi/2}=e^{-\pi/2}(\cos{0}+i\sin{0})$, то есть эта точка с абсциссой $\pi/2$ и ординатой $0$? и т.д.?

[Sonic86]

Ага, совершенно правильно.

[rar]

Спасибо. Буду делать.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #268677 писал(а):

придется нарисовать 2-3 точки на плоскости в соответствующем масштабе

Ну так вот как раз этого вот и не получится. Даже две соседних точки различаются друг от дружки по масштабу раз эдак в четыреста. Формулировка задачки -- откровенно дурацкая.

[gris]

А есть же такая специальная логарифмическая миллиметровка. На ней выйдет прямая .