2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 09:09 
Найти вычеты функции $f(z)=\frac{1}{(z^2-3z+2)^2}$ во всех особых точках с помощью пределов.

Решение:

$$f(z)=\frac{1}{(z^2-3z+2)^2}=\frac{1}{(z-1)^2(z-2)^2}$$
$z=1$ и $z=2$ - полюсы функции 2-го порядка.

$$res_{1}f(z)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{\limits{z \to 1}}{\frac{d^{2-1}\left[(z-1)^2f(z)\right]}{dz^{2-1}}}=\lim_{\limits{z \to 1}}{\left[\frac{1}{(z-2)^2}\right]_{z}^{'}}=2$$

$$res_{2}f(z)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{\limits{z \to 2}}{\frac{d^{2-1}\left[(z-2)^2f(z)\right]}{dz^{2-1}}}=\lim_{\limits{z \to 1}}{\left[\frac{1}{(z-1)^2}\right]_{z}^{'}}=-2$$

Ответ: вычеты функции есть $2$ и $-2$.

 
 
 
 Re: Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 09:22 
Так в чем заключается вопрос ? Ну исходя из того что сумма всех вычетов должна равняться 0 то скорее всего вы нашли верно вычеты =)

 
 
 
 Re: Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 09:32 
Я хотел, узнать, все ли я делаю верно или нет.

 
 
 
 Re: Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 09:57 
Верно.

 
 
 
 Re: Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 12:22 
А доказывать что выбранные точки являются действительно полюсами надо?

 
 
 
 Re: Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 13:08 
Строго говоря надо, просто зачастую это очевидно, поэтому часто этого не делают. Если неочевидно, тогда обязательно доказывать.

 
 
 
 Re: Найти вычеты функции
Сообщение07.12.2009, 19:37 
Дело в том, что если Вы не угадали с полюсностью или не угадали кратность того полюса, то у Вас предела вовсе никакого не выйдет или (соотв.) он выйдет равным бесконечности. В этом смысле та формула -- самокорректирующаяся.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group