Кривые второго порядка

[INDIGO1991]

задача:
Дан полу эллипс. Найти описанный вокруг полу эллипса эллипс минимальной площади.

если задать полу эллипс как:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1,\\ y\geqslant0, \end{array} \right. $

(разумеется $a\geqslant b$)
то становится понятно что полуоси искомого ($a_{1}$ и $b_{1}$) элипса удовлетворяют следующим условиям:
$a_{1}\geqslant a$
$b_{1}\leqslant b$

Подскажите пожалуйста идею, что делать дальше.

[ИСН]

Во-первых, ничего не разумеется. Во-вторых, ничего подобного не становится понятно. (Точнее, первое неравенство ещё ладно, а второе откуда?) В-третьих, перечитайте условие. Если всё точно так и есть - бросьте эту задачу. В общем виде она слишком - - -

[INDIGO1991]

К сожалению, задача была сформулирована именно так. =(
з.ы. с первой системой вместе. А со вторым неравенством наверно я погорячился, там действительно надо рассматривать и обратный случай.
з.ы.ы. В принципе, у меня есть идея (которую я несколько раз пытался использовать), что нужно получить формулу площади произвольного эллипса от его параметров (в произвольной системе координат), от которой надо будет найти минимум по области (которую будет задавать полу эллипс).

[ИСН]

Тогда решение должно начинаться со слов:
- Предположим, что эллипс разрезан вдоль большой полуоси, а не каким-нибудь из континуума остальных способов. Тогда...
...а дальше как обычно (выбрать целевую функцию, производная, минимум, всё).

[ИСН]

Отставить, я ерунду сказал. Всё гораздо проще. Растяжение переводит полуэллипс (любой) в полукруг, при этом другие эллипсы остаются эллипсами, площадь у всех меняется одинаково, минимальный остаётся минимальным. Считайте, что в условии - единичный полукруг.
Формулу площади произвольного эллипса могу дать даром: произведение полуосей умножить на пи.

[INDIGO1991]

ИСН в сообщении #268328 писал(а):

Растяжение переводит полуэллипс (любой) в полукруг, при этом другие эллипсы остаются эллипсами, площадь у всех меняется одинаково, минимальный остаётся минимальным. Считайте, что в условии - единичный полукруг.
Формулу площади произвольного эллипса могу дать даром: произведение полуосей умножить на пи.

Спасибо за идею. Буду пробовать использовать, наверное это сильно упростит условие по которому надо будет находить экстремум.

з.ы. На счет площади: эту формулу я знаю =), но все равно придется выражать полуоси через координаты произвольного эллипса
$ Ax^{2}+ Bxy+ Cy^{2} +Dx+Ey + F=0 $ - если считать что это эллипс, а не произвольная квадрика. (условия на параметры квадрики(чтобы она была эллипсом), я вывел применив к произвольному эллипсу в канонической системе координат произвольное изометрическое преобразование, и тем самым получил 7 условий)
Иначе будут рассмотрены только эллипсы в каноническом базисе.

[ewert]

Ну не так уж и произвольный. Вам же (после пересчёта на полукруг) фактически надо описывать эллипс вокруг равнобедренного треугольника с углами 45 градусов, причём этот эллипс должен быть вытянут по горизонтали. Ну разве что надо ещё доказать, что оптимальным положением будет именно симметричное.

[ИСН]

Вот-вот. Эллипс настолько общего вида по существу не нужен.
Задачу, кстати, можно проапгрейдить до почти олимпиадной: какой высоты должен быть сегмент единичного круга, чтобы его можно было запихать в эллипс, который меньше того круга?

[INDIGO1991]

уф вроди получилось. =)
У меня получился эллипс:
$\frac{3x^2}{4}+\frac{9(y-1/3)^2}{4}=1$

-- Вс дек 06, 2009 19:38:51 --

Всем спасибо. =)