Частное решение диффура

[invisible1]

$2y+y'=2x^3y^3$(*)
Делим обе части на $y^3$ (помня, что $y=0$ - тоже решение)
$\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{y'}{y^3}=2x^3$
Общее решение однородного уравнения
$2y+y'=0$
$y_1=C\cdot e^{-2x}$
Ищем частное решение методом вариации произвольной постоянной
$y=C(x)\cdot e^{-2x}$
Подставляем в (*)
$2C(x)\cdot e^{-2x}-2xC(x)\cdot e^{-2x}-2C(x)\cdot e^{-2x}=2x^3\cdot C^3(x)\cdot e^{-6x}$
$-2xC(x)\cdot e^{-2x}=2x^3\cdot C^3(x)\cdot e^{-6x}$
$C^2(x)=-\dfrac{e^{4x}}{x^2}$
Константа будет комплексная?

[ShMaxG]

invisible1 в сообщении #268444 писал(а):

Общее решение однородного уравнения
$2y+y'=0$

У Вас диффур не линейный, а вы за однородные уравнения принялись. Лучше замену $z = 1/y^2$ сделайте - так сведете к линейному.

[invisible1]

ОК, сейчас сделаю

$z = 1/y^2$
$y=\dfrac{1}{\sqrt{z}}$

-- Вс дек 06, 2009 17:54:03 --

$y'=-\dfrac{z'}{2z^{3/2}}$

[ShMaxG]

Вы в самом начале попыток правильно начинали, $\[z' = - \frac{{2y'}} {{{y^3}}}\] $. Не нужно выражать игреки через зет, здесь же и так видно как заменить.

[invisible1]

Ок, спасибо!
$\[z' = - \dfrac{{2y'}} {{{y^3}}}\] $.

$2y+y'=2x^3y^3$(*)
Делим обе части на $y^3$ (помня, что $y=0$ - тоже решение)
$\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{y'}{y^3}=2x^3$

Делаем замену
$z=\dfrac{1}{y^2}$

$z' = - \dfrac{2y'}{y^3}$

$2z-\dfrac{z'}{2}=2x^3$

$z'-4z=-4x^2$

1)$z'-4z=0$

$z_1=Ce^{4x}$

2) $z_2=C(x)\cdot e^{4x}$

$(z_2)'=C'(x)\cdot e^{4x}+4C(x)\cdot e^{4x}$

$(z_2)'-4z_2=-4x^2$

$C'(x)\cdot e^{4x}+4C(x)\cdot e^{4x}-4C(x)\cdot e^{4x}=-4x^2$

$C'(x)\cdot e^{4x}=-4x^2$
$C'(x)=-4x^2\cdot e^{-4x}$

[ShMaxG]

invisible1 в сообщении #268455 писал(а):

2) $z_2=C(x)\cdot e^{4x}$

Вот этого лучше не делать. В правой части диффура стоит многочлен степени 2. Значит и частное решение будем искать каким?

[invisible1]

Я уже почти так сделал...

. В правой части диффура стоит многочлен степени 2. Значит и частное решение будем искать каким?
Многочленом второй степени с неопределенными коэффициентами

-- Вс дек 06, 2009 18:15:24 --

$C(x)=\int{-4x^2\cdot e^{-4x}}dx$

[ShMaxG]

Как правило начальство требует в этих случаях искать частное именно через полиномы. Аналогично было бы, если справа стояли бы косинусы с синусами и пр. (а что прочее - взгляните в учебнике).

Это частное решение подбирается буквально устно, зачем утруждать себя вычислением каких-то сложных интегралов, где можно наделать кучу ошибок?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #268447 писал(а):

У Вас диффур не линейный, а вы за однородные уравнения принялись.

Не линейный, но зато Бернулли. Так что можно и методом вариации. Другое дело, что подставлено было совершенно дико.

Кстати, метод вариации даёт общее решение.

[invisible1]

$z_2=Ax^2+Bx+C$
$(z_2)'=2Ax+B$
$2Ax+B-4(Ax^2+Bx+C)=-4x^2$
$A=1$
$0=B-4C$ => $C=-1/8$
$0=2-4B$ => $B=-1/2$
$z_2=x^2-\dfrac{x}{2}-1/8$

[ShMaxG]

Нефига. Перепроверьте.

[invisible1]

$z=z_1+z_2$
$z=Ce^{4x}+x^2-x/ -1/8$

-- Вс дек 06, 2009 18:35:22 --

Сначала забыл про 1/8 сейчас исправил

[ShMaxG]

invisible1 в сообщении #268465 писал(а):

$0=2-4B$ => $B=-1/2$

[invisible1]

Эмс, да, вы правы!

-- Вс дек 06, 2009 18:43:37 --

$z_2=Ax^2+Bx+C$
$(z_2)'=2Ax+B$
$2Ax+B-4(Ax^2+Bx+C)=-4x^2$
$A=1$
$0=1/2-4C$ => $C=1/8$
$0=2-4B$ => $B=1/2$
$z_2=x^2+\dfrac{x}{2}+1/8$

-- Вс дек 06, 2009 18:46:16 --

$z=z_1+z_2=Ce^{4x}+x^2+x/2+1/8$
$z=1/y^2$
$y=\dfrac{1}{\sqrt{Ce^{4x}+x^2+x/2+1/8}}$
$y=\dfrac{32}{\sqrt{32Ce^{4x}+32x^2+16x+4}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{32Ce^{4x}+32x^2+16x+4}}$

-- Вс дек 06, 2009 18:52:26 --

А откуда берется множитель с $x^3$?
Ответ должен быть таким...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+[2y%2By'%3D2x^3y^3]

[ewert]

А оттуда, что Вы легко и непринуждённо заменили в исходной правой части куб на квадрат.