Полукубические числа.

[Руст]

Эта задача из fido7.
Некоторое число х в исчислении с основанием g называется полукубическим, если приписыванием этого числа к самому себе (в этом исчислении, т.е. умножением этого числа на $g^k+1$, где k число его разрядов ) получается куб натурального числа.
1. Докажите, что если количество разрядов k<4, то существует бесконечно много плукубических чисел.
2. Можно ли доказать, что всех полукубических чисел с количеством разрядов не меньше 4 по всем g не более чем конечно?
3. Соответственно, если для основания g не существует полукубических чисел с k<4, скорее всего их вообще нет. В частности для g=10 таких чисел нет.
4. Можете ли описать множество всех g, для которых существуют полукубические числа.

[maxal]

В более слабом варианте задача была предложена на Математическом Марафоне под номером 9(39).