Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Непонятная окружность (вписанная в четырехугольник)
05.12.2009, 23:28
Последний раз редактировалось PAV 14.03.2011, 14:48, всего редактировалось 1 раз.
дополнил заголовок
Вот есть такая задача. Дословно: Доказать, что в четырехугольнике, описанном около окружности (и таком, что окружность заключена внутри него) сумма двух его противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон.
Задачу решать не нужно. Это я сам. Поясните только, пожалуйста, следующее. Меня смущают слова, приведенные в скеобках. Точнее я не понимаю для чего они даны. Неужели может быть как то под другому. В смысле окружность вписана в четырехугольник и не находится внутри него. Короче, для чего даны эти слова в скобках?
aVague
Re: Непонятная окружность
05.12.2009, 23:30
yr мало ли какое пространство рассматривается...
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 06:59
Да какое там пространство. Задача из школьного учебника.
gris
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 10:54
Где Вы такие учебники отыскиваете? Интересно посмотреть на описанный четырёхугольник, расположенный внутри окружности, хотя бы частично. Самопересекающийся? Не плоский? Не выпуклый? Не хватает воображения. Погорелов любит давать в виде задач то, что у других авторов даётся в виде теорем.
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 11:07
Задача эта дана в курсе геметрии Адамара (Том 1, Планиметрия). Я сам тщился пытаясь представить такие четырехугольник и такую окружность, ничего не получилось.
gris
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 11:18
Надо посмотреть. Хотя точки касания лежат не внутри четырёхугольника, ну да ладно
-- Вс дек 06, 2009 11:26:21 --
Да, действительно. Потом идёт обратная теорема о выпуклом четырёхугольнике. Может быт Адамар хотел,, чтобы ученики задумались, а может ли описанный четырёхугольник быть невыпуклым?
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 11:37
Да здесь дело то и не в выпуклости. Ясно, что любые две стороны - это две касательные к этой окружности. А точка пересечения любых двух общих касательных к окружности (если таковая имеется) всегда лежит вне этой окружности.
gris
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 11:45
Но интересно продолжение задачи: "Если неизвестно, лежит ли окружность внутри четырёхугольника, то существует пара сторон... Не здесь ли разгадка? Что называется описанным многоугольником? что касается - сторона или прямая, её содержащая?
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 12:06
Нет, ну согласно общепринятой методе, Многоугольник вписан в кривую, если все его вершины лежат на этой кривой. И кривая описана около многоугольника, если каждая из его сторон касается этой кривой (о продолжениях речи не идет, хотя бы в элементарном курсе.)
gris
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 12:37
Последнее предложение неточно - надо "кривая вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон". А Вы невнимательно читаете. Например, в п. 94 определяется вневписанная в треугольник окружность как окружность, касающаяся всех его сторон и лежащая вне треугольника. Я уже построил такой 4-угольник :задирая нос:
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 13:18
Ну не всех сторон, а его продолжений, если уж точнее. И если уж до конца быть точным, что задача то ведь там сперва ставилась, не как окружность соотносится с треугольником, а как окружность соотносится с тремя прямыми. Интересно взглянуть на окружность, вневписанную в четырехугольник.
gris
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 13:23
У Адамара есть хорошие задачи, но как основной учебник для изучения геометрии мне он не очень...
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 14:05
А вот как. Получилось действительно, что окружность, вневписанная в четырехугольник (если таковая сущесствует), не касается ни одной из его сторон.
P.S. А что, есть разве лучше учебники, чем двухтомный учебник Адамара? Уж во всяком случае а) Гораздо больше материала содерржит, чем любой Анастасян или Погорелов и даже больше чем Кисилев. Лучшего ведь просто нет.
Получилось действительно, что окружность, вневписанная в четырехугольник (если таковая сущесствует), не касается ни одной из его сторон.
А если четырёхугольник не выпуклый?
Sasha2
Re: Непонятная окружность
06.12.2009, 15:49
Да тогда оказывется может и касаться. Понял. Спасибо. Короче тут есть такая субъективная трудность, ну в смысле обычно вписанная окружность мыслится как нечто лежащее внутри другого, а тут получается не так. Просто свыкнуться, освоиться надо.