Надо "построить конус", в который можно вписать куб макс. об

[sasha_vertreter]

Добрый день,

Помогите, пожалуйста, понять.

Мне нужно найти такой конус, чтобы в него можно было вписать куб максимального объема.

Пусть в прямом круговом конусе образующая $l$ составляет угол $\phi$ с основанием конуса. Я нашел условие на $\phi$, при котором объем конуса будет максимальным.

Значит ли это, что максимальный куб можно вписать в конус максимального объема? Я или в 3-х соснах запутался - или задача более сложная...

А можно здесь же - где можно почитать об объеме прямого эллиптического и косого кругового\эллиптического конусов? (то есть возможно ли, что максимальный объем прямого эллиптического или косого кругового\эллиптического конуса превзойдет максимальный объем прямого кругового конуса?)


Спасибо!

[Алексей К.]

Цитата:

Мне нужно найти такой конус, чтобы в него можно было вписать куб максимального объема.

Начнём с того, что, допустим, мы такой конус нашли. И вписали куб якобы максимального размера. Но позвольте, скажет любой восьмиклассник, --- я возьму конус, подобный этому, но в два раза бОльший. И в него, очевидно, впишется в два раза бОльший куб. Ничего вы не нашли, добавит он.

Так что задача недосказанная. Поиск надо как-то ограничить, чтобы соображения подобия были неприменимы. Например, искать такой конус среди конусов с одинаковым основанием:

$$\begin{picture}(120,40) \put(0,0){\line(1,0){24}}\put(0,0){\line(1,1){12}}\put(24,0){\line(-1,1){12}} \put(40,0){\line(1,0){24}}\put(40,0){\line(1,2){12}}\put(64,0){\line(-1,2){12}} \put(80,0){\line(1,0){24}}\put(80,0){\line(1,3){12}}\put(104,0){\line(-1,3){12}} \end{picture}$$

Нет, не проходит: чем больше высота, тем больше кубик, и максимум будет когда конус превратится в цилиндр.

Возможно, таковой надо искать среди конусов одинакового объёма? Это больше похоже на правду. Ну, а "прямой круговой", естественно, подразумеваются.

Интересно, необходимость уточнения задачи специально задумана её авторами? Или оплошность? Или автор вопроса недоцитировал, или сам придумал-недодумал?

[venco]

А можно ещё ограничить площадь поверхности, и ответ, скорее всего, будет другим.

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #268093 писал(а):

А можно здесь же - где можно почитать об объеме прямого эллиптического и косого кругового\эллиптического конусов?

Здесь же и можно: объём вообще любого конуса равен одной трети площади основания на высоту. Как и любой пирамиды, которая, в сущности, является частным случаем конуса.

[sasha_vertreter]

Спасибо!

По поводу ограничений - все верно, я сам об этом подумал сразу, как прочел задачу. Но задача сформулирована вообще про дизайн конических колпаков гномов, чтобы в них можно было засунуть кубик сахара наибольшего объема =))) и все.

А если я введу ограничение на длину образующей $\l$. Тогда, полагая $\phi$ - угол наклона образующей с основанием, я нашел, что объем прямого кругового конуса будет максимальным, если $\phi=\arcctg \sqrt 2$.

То есть справедливо, что при той же длине образующей $l$ объем прямого эллиптического или косого кругового\эллиптического конусов будет меньше объема прямого кругового?

а вот это зачем было писать =)

Алексей К. в сообщении #268102 писал(а):

Цитата:

Интересно, необходимость уточнения задачи специально задумана её авторами? Или оплошность? Или автор вопроса недоцитировал, или сам придумал-недодумал?

[Алексей К.]

А это затем было писать, что мне стало интересно, --- бывают ли реально такие задачи, где от студента требуется некий дополнительный анализ условия. Иными словами, задача некорректная или якобы некорректная? Это был попутный вопрос к участникам-преподавателям. Никакой крамолы не вижу, даже не оффтопик.

[sasha_vertreter]

Алексей К. в сообщении #268148 писал(а):

А это затем было писать, что мне стало интересно, --- бывают ли реально такие задачи, где от студента требуется некий дополнительный анализ условия. Это был попутный вопрос к участникам-преподавателям. Никакой крамолы не вижу, даже не оффтопик.

Это задачка - то, что они называют puzzle =), то есть не из программных контрольных или ДЗ. В последних все четко. Просто наш преподаватель, чтобы люди математику не забывали, периодически рассылает такие вот задачки. Причем почти в каждой из них есть какая-то недосказанность. Порой это приводит к тому, что люди решают совершенно разные задачи. Я для себя понял, что в решении надо прописать все-все возможные варианты, хотя уверен на 99,9%, что задача действительно про прямой круговой конус.

[gris]

sasha_vertreter, а что Вы понимаете под длиной образующей в случае, отличном от прямого и кругового конуса?
Во фразе "при той же длине образующей объем прямого эллиптического..."

[sasha_vertreter]

gris в сообщении #268151 писал(а):

sasha_vertreter, а что Вы понимаете под длиной образующей в случае, отличном от прямого и кругового конуса?
Во фразе "при той же длине образующей объем прямого эллиптического..."

здесь - длину отрезка, соединяющего вершину и эллиптическое основание конуса - не верно?

вот интересно, что я подразумеваю под длиной образющей в косом конусе...

[Алексей К.]

sasha_vertreter в сообщении #268141 писал(а):

а вот это зачем было писать =)

Тогда непонятно, а вот \Huge $\uparrow$ это зачем было писать, ежели на мой вопрос имелся на самом деле простой, ясный и интересный ответ?

[sasha_vertreter]

Алексей К. в сообщении #268153 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #268141 писал(а):

а вот это зачем было писать =)

Тогда непонятно, а вот \Huge $\uparrow$ это зачем было писать, ежели на мой вопрос имелся на самом деле простой, ясный и интересный ответ?

вот сейчас мы уйдем в оффтоп =) Извиняюсь - я был не прав =))))

[gris]

sasha_vertreter, но эти отрезки имеют разную длину. Я вот и поинтересовался, имеете ли Вы в виду минимальную, максимальную или среднюю длину. Если, конечно, основание конуса плоское.

[sasha_vertreter]

gris в сообщении #268158 писал(а):

sasha_vertreter, но эти отрезки имеют разную длину. Я вот и поинтересовался, имеете ли Вы в виду минимальную, максимальную или среднюю длину. Если, конечно, основание конуса плоское.

да все верно, я ничего не понимаю ни в каких других конусах, кроме прямого кругового... пойду читать.

спасибо за уточнение!

[gris]

Мне кажется, что мудрить тут не надо. Конус прямой круговой и задача обычная. Допускает несколько естественных формулировок. Например, с Вашим сахаром. Определить конус с наименьшей боковой поверхностью, которым можно накрыть кубик сахара с заданным ребром. Или найти такой же конус наименьшего объёма. Если ответы будут разные, то это прекрасная иллюстрация на тему важности условий оптимизации.

[sasha_vertreter]

а можете это же переформулировать исходя из задачи, как построить оптимальный конус, чтобы им можно было бы накрыть максимальный куб, то есть варировать надо ограничения на параметры конуса - правильно?