Математика в КТП

[Dolopihtis]

В известном учебнике Пескин и Шредер "Введение в квантовою теорию поля" есть следующее рассуждение.Сначала имелся ряд вида $\Sigma{e^{iE_{n}t}},E_0<E_1<E_2..$. Затем они предлагают добавить к переменной t очень малую мнимую добавку {\epsilon},т.е.$t-> t(1+i{\epsilon})$ и устремить t к бесконечности. Тогда из всех слагамых осанется только слагаемое с E_0,т.к. оно будет убывать медленнее остальных. После этого можно положить {\epsilon} = 0 и в результате при больших t от всего ряда останется только первое слагаемое. Хотелось бы узнать от математически компетентных людей,насколько такого рода рассуждения являются корректными, потому что они часто встречаются в литературе на эту тему.

[Аурелиано Буэндиа]

Вы это про Виковский поворот? Мне кажется, что лучше рассмотреть конкретный пример. Вот при интегрировании по $\phi(x)$ интеграл формально расходится покольку при $\phi \to \infty$ подинтегральная функция осциллирует

$$ \int \mathscr{D}\phi(x) e^{i\int dt dx \left[\frac{1}{2}(\partial \phi)^2- \frac{1}{2}m^2 \phi^2\right]} $$

проблему можно решить заменой $m^2 \to m^2 - i\epsilon$, $\epsilon >0$. Похожая ситуация, насколько я понимаю, возникает, например, при вычислении функции Грина, которое сводится к вычислению интеграла типа

$$ \int dk \frac{exp(ikx)}{k^2-m^2} $$

В точке $k=\pm m$ подинтегральная функция расходится. Здесь можно опять провернуть тот же прием. Аналогично, можно все реализовать в рамках обобщенных функций, которые полностью корректны с математической точки зрения. Ну Вы это сами знаете...
А фокус Вика в том, что переход к комплексному времени мат. эквивалентен замене $m^2 \to m^2 - i\epsilon$.

[Dolopihtis]

Спасибо за ответ. Именно такие "фокусы" я имел в виду. В приведенном примере они вычисляли основное состояние теории \phi^4,раскладывая его в ряд по состояниям теории без самодействия. Конечно, чаще всего это используется при вычислении функций Грина , где малая мнимая добавка к массе смещает полюсы подинтегральной функции с вещественной оси. Дело в том, что в той литературе, с которой я сталкивался, корректность этой процедуры будто бы считалась само собой разумеющейся. А про обоснование при помощи обобщенных функций я , к сожалению, ничего не знаю.

[Аурелиано Буэндиа]

Если в двух словах, то в КТП (да и не только там) фигурирует функция "$x^{-1}$", которая на самом деле является обобщенной и встречается в разных видах

$$ \mathscr{P}\frac{1}{x},\ \frac{1}{x-i0}, \ \frac{1}{x+i0} $$

Они связаны равенством (про это хорошо написано в книге Владимирова)

$$ \frac{1}{x\pm i0}=\mathscr{P}\frac{1}{x} \mp i\pi \delta(x) $$

Таким образом, согласно теории обобщенных функций вместо

$$ \int dk \frac{exp(ikx)}{k^2-m^2} $$

нужно писать

$$ \int dk \frac{exp(ikx)}{k^2-m^2 \pm i0} $$

и понимать это как интеграл от обобщенной функции.