Непрерывность и неподвижные точки

[IFRIT]

Задание звучит так:
Покажите, что если $ f\in C[0,1], g\in C[0,1]$ и $f\circ g$ = $g\circ f$, то найдется точка $ x\in [0,1] $ : $f(x)=g(x)$

На всякий случай напомню, что $C[E]$ - совокупность всех функций непрерывных на мн-ве $E$. Но это так, к слову.. Задачка сложная, но, надо полагать, известная.. У самого только одна мысль - как-то использовать то, что при непрерывном отображении имеется неподвижная точка - $f(x)=x$

[gris]

если не найдётся, то одна из функцмй строго больше другой
можно проанализировать отрезки значений

[id]

А функции, надо полагать, принимают значения из $[0,1]$?

[IFRIT]

как ни странно - об этом ничего не сказано.. всё условие я перепечатал...

[AD]

Удалил вторую точно такую же тему. Могли бы и сами.

IFRIT в сообщении #267828 писал(а):

как ни странно - об этом ничего не сказано.. всё условие я перепечатал...

А надо между строк читать. Если хоть одна вылезет за $[0,1]$, то композиция не будет определена. Хотя, конечно, можно еще увиливать, и говорить, что имелось ввиду "найдется $x$ такое, что $f(g(x))$ и $g(f(x))$ определены и равны", но это мне кажется менее вероятным

[IFRIT]

Да, согласен - $[0,1] \to [0,1]$. И даже одна выше другой.. но что это нам дает?

[id]

Ну может как-то так:
Пусть $x_2$ - минимальный корень уравнения $f(x)=x$.
Тогда $\forall x < x_2$ $f(x)>x$.
При этом $g(x_2) < x_2$, т.е. $f(g(x_2))>g(x_2)$
$\Rightarrow g(x_2)=f(g(x_2))>g(x_2)$

Или не?

[IFRIT]

Если я правильно понимаю, Вы рассматриваете случай, когда $\forall x f(x) >g(x)$? В третьей строке, как я понимаю, некий обман - там может быть $f(x)<x$, но я думаю это ничего, попробуем сначала разобраться с одним случаем, второй рассмотрим аналогично. В последней строке вызвало вопросы $g(x_2)>g(x_2)$, но я понял, что Вы имели ввиду. Но что нам делать с остальными $x\in ]x_2,1]$?

[id]

IFRIT
Конечно, $\forall x f(x)>g(x)$.

А почему в третьей строчке при этом условии может быть $f(x)<x$ для некоторого $x \in [0,x_2)$? По-моему, не может ( это соображение я пропустил первоначально по соображениям очевидности ). Только что в нуле - но тогда получаем точку пересечения. ( $f(0) \geqslant 0$ все-таки и непрерывность есть )

А зачем что-то делать с остальными, если мы уже получили противоречие?

[ewert]

Пусть для определённости $f(x)>g(x)\ (\forall x)$. Пусть $a$ -- наибольшее решение уравнения $g(x)=x$. Тогда $f(g(a))=f(a)$ (поскольку $g(a)=a$). С другой стороны, из $f(g(x))\equiv g(f(x))$ следует $g(f(a))=f(g(a))=f(a)$. Таким образом, $f(a)$ -- тоже решение уравнения $g(x)=x$. Но это противоречит тому, что $f(a)>a$ (т.к $a=g(a)$), ведь по предположению $a$ -- наибольшее решение того уравнения.

Никаких случаев перебирать не нужно.

[TOTAL]

Пусть a - неподвижная точка для f. Тогда a, g(a), g(g(a)), ... -- тоже неподвижные точки для f.
Если эта последовательность неподвижных точек монотонна, то f и g имеют общую неподвижную точку.
А если немонотонна, то найдется точка, где f>g, и найдется точка, где наоборот.

[IFRIT]

id
Спасибо большое, уже уйдя в универ, я осознал всё, что Вы написали.
Но что самое забавное, выяснилось, что это - лишь сокращенная версия задачи. Нам сказали, что можно доказать, что у них есть общая неподвижная точка. Примерно об этом говорит TOTAL.. Но говорят, что в любом случае будет общая неподвижная..

[neo66]

Если $f$ и$g$ - коммутирующие (т.е. $f \circ g = g \circ f $) непрерывные отображения отрезка $[0,1]$ в себя, то они имеют общую неподвижную точку.

PS. Это задача из 1-го тома "Математического Анализа" Зорича.

[paha]

Если предположить, что $g(x_0)=x_0$, то последовательность $\{x_n\}$, заданная реккурентным соотношением $x_{n+1}=f(x_n)$, содержит подпоследовательность, сходящуюся к искомой точке

-- Сб апр 24, 2010 12:48:19 --

отрезок можно заменить на секвенциально компактное пространство

[AGu]

Хмм... А почему тогда W.M.Boyce и J.P.Huneke отказываются в это верить?

[1] W.M.Boyce. Commuting functions with no common fixed point.
[2] J.P.Huneke. On common fixed points of commuting continuous functions on an interval.