Задача о прогрессиях

[Sasha2]

Вот имеется такая задача:
Есть две прогрессии $a_n$ - арифметическая и $b_n$ - геометрическая.
Известно, что
1) Обе не тривиальные (то есть разность арифметической не равна нулю, а знаменатель геометрической не равен единице).
2) Члены обеих прогрессий положительные.
3) Число их членов одинаковое.
4) Первый и последний члены и той и другой прогрессии равны.

Доказать, что сумма членов данной арифметической прогрессии больше суммы членов данной геометрической прогрессии.

Если $a$ и $b$ соответственно крайние члены этих прогрессий ($a<b$), то сумма арифметической равна $\frac{a+b}{2}\cdot{n}$, а сумма геометрической равна $\frac{b-a}{\sqrt[n]{\frac{b}{a}}-1}$. Это показывается легко путем элементарных преобразований.
Следовательно, цена вопроса, доказательство неравенства:
$(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}-1)\cdot{n}>\frac{2\cdot{(b-a)}}{b+a}$.
Вот тут и запнулся. Неравенство Бернулли позволяет оценить корень, но сверху, а нужна оценка снизу.

[ИСН]

Come on. К чему всё это. Экспонента выпукла вниз.

[Sasha2]

Да хотелось бы элементарным школьным способом показать.

[gris]

Так куда уж школьнее. Я как увидел слова "выпукла вниз", так и представил себе дугу экспоненты, стянутую хордой. А на дуге и хорде оранжевые точки одна под другой. Каждая точка на хорде выше, чем точка на дуге...
А можно выразить знаменатель и разность, а потом и общие члены каждой прогрессии, через число членов и значения на концах.

[Батороев]

Должно быть наложено еще какое-то условие, иначе:
$a_n$) $16+10+4=30$
$b_n$) $16+8+4=28$

[gris]

У автора там немножко со знаком перепутано. Нет, не перепутано. на минус один умножено. А словами верно - арифметическая больше геометрической. (как выяснилось - почленно)

[Батороев]

Нет, у автора все правильно и там, и там. Это я чего-то неправильно понял. Звиняйте.

[Sasha2]

Честно признаюсь, не понимаю о чем Вы.

Продолжаю тупо
1) Числитель и знаменатель правой части делю на $a$, получаю, что доказать нужно, что $(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}-1)\cdot{n}>\frac{2\cdot{(\frac{b}{a}-1)}}{\frac{b}{a}+1}$.
Вводим обозначение $x=\sqrt[n]{\frac{b}{a}}$ ($x>1$).
Тогда доказательству подлежит неравенство $n\cdot{(x^n+1)}>\frac{2\cdot{(x^n-1)}}{x-1}=2\cdot{(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)}$.
Теперь запишем ряд верных неравенств $x^n+1>x^{n-p}+x^p$, $p$ здесь меняется от $1$ до $n$. Справедливость устанавливается тривиально.
Складываем все эти n неравенств и получаем исходное.
Вообщем понятно.

Но поясните прожалуйста, причем здесь экспонента.
P.S. (И термин оранжевые точки, это прикол или такой имеется на самом деле?)

[gris]

То, что не просто сумма, а каждый промежуточный член АП больше соответствующего члена ГП.
то есть

$a+k\dfrac {b-a}{n-1}>a\cdot\sqrt[n-1]{(b-a)^k}; k=1..n-2$

А экспонента это просто наглядное графическое решение. Ординаты оранжевых точек на хорде образуют АП, на дуге экспоненты - ГП.

[Sasha2]

Да блин теперь тоже, как перед глазами стоит.
Грубо говоря, каждый член арифметической прогрессии лежит на прямой, являющейся секущей для экспоненты.
А график экспоненты с основанием, большим 1, выпирает к оси X.

[gris]

Да и меньшим 1 тоже. Так что Ваше утверждение верно и для убывающих положительных прогрессий.

[Sasha2]

Спасибо, gris.
Разобрался