Предел последовательности, заданной рекуррентно

[mkot]

Дана задача. Последовательность функций $y_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ задана следующим образом:
$y_1 = \frac{x}2$,
$y_n = \frac{x}2 - \frac{y_{n-1}^2}2$.
Найти $\lim_{n \to \infty}y_n$.

Я задачу решил. Но мне не нравится решение в силу громоздскости и неуклюжести. Подскажите более изящное решение. А теперь моё решение:
(1) Доказываю, что $0 \leqslant y_n \leqslant \frac{x}2 \leqslant \sqrt{x}$,
(2) Разбиваю последовательность на две подпоследовательности: с чётными номерами и нечётными.
(3) Методом матиндукции показываю, что первая последовательность невозрастает, а вторая не убывает.
(4) На основании (1) и (3) делаю вывод, что обе подпоследовательности сходятся.
(5) Из рекуррентного определения путём предельного перехода следует, что пределы этих последовательностей совпадают и равны $-1 + \sqrt{1+x}$.
(6) Из (5) делаю вывод, что и предел исходной последовательности равен $-1 + \sqrt{1+x}$.

[ИСН]

Это смотря при каких x, to begin with.
(Разумеется, если Вам нужен $\lim\limits_{n\to\infty}$, как явствует из рассуждений, а не $\lim\limits_{x\to 0}$, как написано в условии.)

[ewert]

mkot в сообщении #267134 писал(а):

Но мне не нравится решение в силу громоздскости и неуклюжести.

Нет, идея-то совершенно правильная. Только ведь при $-1+\sqrt{1+x}>1$ эта последовательность расходится -- независимо от начального приближения...

[mkot]

ИСН в сообщении #267139 писал(а):

Это смотря при каких x, to begin with.

ewert в сообщении #267141 писал(а):

Нет, идея-то совершенно правильная. Только ведь при $-1+\sqrt{1+x}>1$ эта последовательность расходится -- независимо от начального приближения...

mkot в сообщении #267134 писал(а):

$y_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$

[ewert]

mkot в сообщении #267142 писал(а):

mkot в сообщении #267134 писал(а):

$y_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$

А это просто безграмотная запись: последовательность есть отображение не из отрезка, а из натурального ряда. В общем, постановка задачи -- крайне неаккуратна.

[AGu]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #267152 писал(а):

mkot в сообщении #267134 писал(а):

$y_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$

А это просто безграмотная запись: последовательность есть отображение не из отрезка, а из натурального ряда.

Хмм... Лично мне из записи «последовательность функций $y_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$» очевидно, что фрагмент $y_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ относится к функции $y_n$, а не к последовательности $(y_n)_{n\in\mathbb N}$. И это нисколько меня не смущает. Наоборот, меня очень смутит запись «последовательность функций $y_n:\mathbb N\to\mathbb R^{[0,1]}$», в этом контексте я ее точно неправильно пойму: мне стопроцентно покажется, что для каждого $n$ объект $y_n$ является последовательностью функций, действующих из $[0,1]$ в $\mathbb R$.

Неужели Вы считаете безграмотной, например, совершенно аналогичную фразу «последовательность чисел $x_n\in[0,1]$» на том основании, что последовательность чисел — это не число и поэтому не может принадлежать $[0,1]$? Я принадлежу к той куче народа, которая прочитывает запись «последовательность чисел $x_n\in[0,1]$» как «последовательность чисел $x_n$, принадлежащих $[0,1]$», а не «последовательность чисел $x_n$, принадлежащая $[0,1]$». Неужели я безграмотен?

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #267152 писал(а):

А это просто безграмотная запись: последовательность есть отображение не из отрезка, а из натурального ряда.

В данном случае грамотная. Человек вводит последовательность, записывая её произвольный член. Этот член как раз и является функцией из $[0,1]$ в $\mathbb{R}$.

Хотя странно, почему именно из $[0,1]$ а не из $\mathbb{R}$.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #267534 писал(а):

Хотя странно, почему именно из $[0,1]$ а не из $\mathbb{R}$.

Вот именно.

Честно говоря, я сперва слова "функции" просто не заметил.

И правильно сделал, что не заметил. Нехорошо давать формулировки, противоречащие здравому смыслу.

Из принадлежности области определения игрека-энного тому отрезку вовсе априори не следует, что его образ будет принадлежать тому отрезку. И, тем самым, что следующий шаг будет хоть сколько-то осмысленным.

Впрочем, я талантлив. Я телепат. Я даже догадываюсь, что те аффтары хотели предложить в качестве задачи (что бродило в их мозгах, но так и не вырвалось на поверхность).

А хотели они попросить попросту предел той последовательности игреков -- при заданном начальном условии и при дополнительном предположении, что параметр икс лежит в том самом единичном интервале.

Хотели -- но чего-то застеснялись. Напрасно.