Проверьте пожалуйста решение (неравенство)

[Sasha2]

Вот есть задача такая

Доказать неравенство:
$(2-\frac{1}{m})\cdot(2-\frac{3}{m})\cdot...\cdot(2-\frac{2m-1}{m})\geq{\frac{1}{m!}}$.

Я, читая ответ не понял решение, которое там написано. Поэтому, попробовал по другому:
Данное нервенство будет верно, если мы докажем неравенство $2-\frac{2k-1}{m}\geq{\frac{1}{k}}$, где k меняется в пределах от 1 до m. Грубо говоря, сравнитьт каждый сомножитель в левой части с каждым сомножителем из факториала в правой.
После небольших преобразований получаем, что нужно доказать неравенство $2km-m-2k^2+k\geq{0}$, или, что то же самое, неравенство $(2k-1)\cdot(m-k)\geq{0}$, которое очевидно при данных услових по k и m.

Смущает, что все так просто получается. У автора доказательство на полстраницы мелким шрифтом.
Может все таки где-то ошибка вкралась?

[ewert]

Нет, вроде верно.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #267123 писал(а):

Смущает, что все так просто получается. У автора доказательство на полстраницы мелким шрифтом.

Помню, бездумно переписав теорему у одного из таких авторов, минут двадцать доказывал на экзамене, что если $f(x)$ --- многочлен с целыми коэффициентами и $z \in \mathbb{Z}$, то $f(z) \in \mathbb{Z}$