Пирамида. Угол между гранью и ребром

[invisible1]

Даны координаты вершин пирамиды
$A_1(3,3,9)$
$A_2(6,9,1)$
$A_3(1,7,3)$
$A_4(8,5,8)$

Нужно найти угол между ребром $A_1A_4$ и гранью $A_1A_2A_3$ и площадь грани $A_1A_2A_3$
Найти высоту, опущенную из вершины $A_4$ на плоскость $A_1A_2A_3$
У меня получился угол равен примерно нулю!!!!!!
Как проще искать площадь этой грани?
Как найти высоту?!!!!! Что использовать нужно?!!!!!!

Я нашел уравнение плоскости, проходящей через точки $A_1$;$A_2$;$A_3$ точно правильно, тк подставлял координаты этих точек, получалось тождество
Вот уравнение плоскости
$2x-17y-12z+153=0$
По идее угол $\phi$ между плоскостью и прямой, которая задана каноническим уравнением, определяется из соотношения

$$\sin\phi=\dfrac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$

$\vec q=(l,m,n)$ - направляющий вектор прямой.
у нас направляющим вектором будет $\overrightarrow{A_1A_4}=(5,2,-1)$
$A=2$; $B=-17$; $C=-12$
Подставляем в формулу

$$\sin\phi=\dfrac{2\cdot 5 - 17\cdot 2 + 1 \cdot 12}{\sqrt{2^2+{17}^2+{12}^2}\cdot \sqrt{5^2+2^2+1^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{437}\cdot \sqrt{30}} \approx \dfrac{5}{114,5} \approx 0.04$$

Из таблицы Брадиса синус такого угла почти ноль, как такое могло получиться?

[ewert]

invisible1 в сообщении #267102 писал(а):

Из таблицы Брадиса синус такого угла почти ноль, как такое могло получиться?

Ну уж что есть -- то есть. Только Вы сумму в числителе неправильно посчитали.

invisible1 в сообщении #267102 писал(а):

Как проще искать площадь этой грани?

Через модуль векторного произведения.

[invisible1]

Спасибо! Да, есть ошибка, только тогда угол вообще отрицательный...как такое может быть из физических соображений?!

[ewert]

Не обращайте внимания, берите по модулю.

($\sin\varphi$ -- это по происхождению $\cos({\pi\over2}-\varphi)$, где $({\pi\over2}-\varphi)$ -- это угол между нормалью и направляющим вектором при условии, что эти векторы направлены под острым углом друг к другу, а будет ли он острым или нет -- дело случая).

[invisible1]

Спасибо, ясно, получатся 353 градуса...
А как найти высоту, опущенную из вершины $A_4$ на плоскость $A_1A_2A_3$?!

[ewert]

invisible1 в сообщении #267115 писал(а):

Спасибо, ясно, получатся 353 градуса...

Ничего себе уголок... Кто ж его в эту сторону-то отсчитывает?...

invisible1 в сообщении #267115 писал(а):

А как найти высоту, опущенную из вершины $A_4$ на плоскость $A_1A_2A_3$?!

Раз уж Вы уже нашли уравнение плоскости -- то проще всего по стандартной формуле для расстояния от точки до плоскости (через нормальное уравнение плоскости).

[gris]

Высота равна расстоянию. Кстати, можно площадь найти через высоту и объём.

[invisible1]

Да, спасибо!!!!
я перемудрил с углом, он равен семи градусам примерно)
Площадь у меня получилась
$S_{123}=\sqrt{437}$ (почему-то совпадает с модулем нормали к этой же плоскости...)
$h=0$
Как такое могло быть? Сейчас напишу как считал...

А есть программки, где можно построить эту пирамиду? или может кто картинку скинуть? Я не могу ее себе представить...Тем более с такой высотой...
Только еще нужно написать уравнение высоты...А для этого нужно знать точку, в которую она опущена...Как ее найти?)

[gris]

Чем плоха высота? она направлена от вершины вдоль нормали к поверхности. И объём хороший.
Упс. высота ВнезапнО обнулилась...

[invisible1]

Я сделал арифметическую ошибку

$A_4(8,5,8)$

$A_1A_2A_3$:

$2x-17y-12z+153=0$

$h=\dfrac{|2\cdot 8 - 17\cdot 5 - 12\cdot 8 + 153|}{\sqrt{437}}=\dfrac{12}{\sqrt{437}}$

[gris]

А у меня не 12, а 30.
и синус получается корень из 30/457. То есть 0,256. А это почти 15 градусов.

[ewert]

invisible1 в сообщении #267148 писал(а):

$S_{123}=\sqrt{437}$ (почему-то совпадает с модулем нормали к этой же плоскости...)

В некотором смысле -- случайное совпадение. А вот что вектор нормали пропорционален векторному произведению (через которое и считается площадь) -- это уж никак не случайность.

[invisible1]

gris в сообщении #267159 писал(а):

А у меня не 12, а 30.
и синус получается корень из 30/457. То есть 0,256. А это почти 15 градусов.

А вы теми же формулами пользовались?!

[gris]

я ошибся, правда 12. А жаль.

[invisible1]

А откуда "почти 15 градусов."?!