Непрерывные функции.

[Виктор Викторов]

Есть такое следствие из теоремы о эквивалентных функциях на измеримом множестве: «...если две функции, $f$ и $g$, непрерывные на некотором сегменте $E$, эквивалентны (относительно меры Лебега), то они совпадают.» (Колмогоров и Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа" 7-е издание, страница 304).
Отсюда легко следует, что две непрерывные функции, определённые на всей числовой оси и имеющие равные значения во всех рациональных точках, равны.
Есть ли подобная теорема в учебниках по математическому анализу?

[Профессор Снэйп]

Виктор Викторов в сообщении #266962 писал(а):

Отсюда легко следует, что две непрерывные функции, определённые на всей числовой оси и имеющие равные значения во всех рациональных точках, равны.

Ну, для этого не обязательно углубляться в теорию меры!

[ewert]

Как и в случае предыдущей теоремы -- той, что про меру Лебега -- там мера тоже не нужна.

Просто непрерывная функция, заданная на плотном множестве, однозначно доопределяется по непрерывности.

[Виктор Викторов]

Профессор Снэйп в сообщении #266974 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #266962 писал(а):

Отсюда легко следует, что две непрерывные функции, определённые на всей числовой оси и имеющие равные значения во всех рациональных точках, равны.

Ну, для этого не обязательно углубляться в теорию меры!

Конечно, не обязательно. Предложение доказывается в две строчки. Вопрос в том:

Виктор Викторов в сообщении #266962 писал(а):

Есть ли подобная теорема в учебниках по математическому анализу?

И если есть, то в каком из них?