Задача по ТеорВер. Почти решила. Нужна подсказка.

[Delta3101]

Задача
Телефонная станция предприятия обслуживает 300 номеров. Среднее число звонков составляет 10 звонков в час. Число звонков подчиняется закону Пуассона. Какова вероятность того, что с ОДНОГО номера будет произведено 5 звонков в течение часа?

НАШЛА:

закон Пуассона $P_n(k)=(\lambda^k/k!)*\exp(-\lambda)$

математическое ожидание - это теоретическое среднее значение случайной величины (10 звонков в час)
по закону Пуассона : Математическое ожидание = лямбда
следовательно $\lambda = 10$

Вероятность того, что с ЛЮБОГО номера будет произведено 5 звонков в течение часа 0,0378
(по закону пуассона $P_{300}(5)=(\lambda^5/5!)*exp(-\lambda)=0.0378$)

Вероятность того, что будет произведен 1 звонок в течение часа 0,0378
(по закону пуассона $P_{300}(1)=(\lambda^1/1!)*\exp(-\lambda)=4,54*10^-^4$)

Вероятность звонка на тел станцию ( с 1 из 300 номеров) 0,03333
($p=\lambda/n=10/300=0.03333$)

Загвоздка в том, что нужна вероятность 5ти звонков С ОДНОГО номера!!!!

Помогите, пожалуйста.

[Хорхе]

Автора задачи надо убить. Во-первых, не сказано, что номера, с которых поступают звонки в течение часа, независимы. Мы, получается, должны это предположить, но такое предположение абсолютно не естественно. Во-вторых, "с одного номера" -- это с "конкретного" номера или с "с какого-нибудь номера"? Предлагаю понимать, что "с конкретного", иначе задача излишне сложная.

Итак, ответьте сперва вопрос попроще: с 300 номеров в поступило $n$ (независимых) звонков. Какая вероятность, что $k$ из них с конкретного номера? Иными словами, из трехсот предметов наугад выбираются (с возвращением!) $n$ предметов, какова вероятность, что $k$ раз будет выбран конкретный предмет?

[ewert]

Хорхе в сообщении #266645 писал(а):

Во-первых, не сказано, что номера, с которых поступают звонки в течение часа, независимы. Мы, получается, должны это предположить, но такое предположение абсолютно не естественно.

Нет, это как раз вполне естественное предположение. Фактически неправильное, конечно, но вполне естественное. И это вообще не предположение, а условие задачи, фактически оговоренное словами о распределении Пуассона.

А вот слова "с одного номера" -- проскочили в условие явно по недоразумению. Хотя бы потому, что ответить на такой вопрос невозможно, не зная общего числа абонентов, а оно не задано.

[Delta3101]

Хорхе в сообщении #266645 писал(а):

Во-вторых, "с одного номера" -- это с "конкретного" номера или с "с какого-нибудь номера"?

С ОДНОГО НОМЕРА - это с Любого номера из 300, но одного и того же.

Хорхе в сообщении #266645 писал(а):

Итак, ответьте сперва вопрос попроще: с 300 номеров в поступило $n$ (независимых) звонков. Какая вероятность, что $k$ из них с конкретного номера? Иными словами, из трехсот предметов наугад выбираются (с возвращением!) $n$ предметов, какова вероятность, что $k$ раз будет выбран конкретный предмет?

загвоздка в том что выбирают С ВОЗВРАЩЕНИЕМ

-- Пн ноя 30, 2009 18:51:02 --

ewert в сообщении #266656 писал(а):

А вот слова "с одного номера" -- проскочили в условие явно по недоразумению. Хотя бы потому, что ответить на такой вопрос невозможно, не зная общего числа абонентов, а оно не задано.

почему не задано?!
Телефонная станция предприятия обслуживает 300 номеров.
т.е. 300 абонентов

[Архипов]

Delta3101 в сообщении #266557 писал(а):

Телефонная станция предприятия обслуживает 300 номеров. Среднее число звонков составляет 10 звонков в час. Число звонков подчиняется закону Пуассона. Какова вероятность того, что с ОДНОГО номера будет произведено 5 звонков в течение часа?

Похоже, составитель задачи хотел спросить про вероятность того, что за час произойдет 5 звонков с любых номеров из 300.
Тогда можно применить фомулу Пуассона $P(5)=10^5/(5!*e^10)=0,038$ Это - вероятность 5 звонков в 300 испытаниях с вероятностью звонка 1/30 по схеме испытаний Бернулли.
А давайте разыграем лотерею среди 300 абонентов с вероятностью выиграть право на очередной звонок (вероятность выигрыша 1/300 в каждом розыгрыше) . Пять талончиков на звонок конкретный абонент выиграет в 300 розыгрышах с вероятностью Р(5/300)= 0,003 по формуле Бернулли. Умножим вероятность выигрыша конкретного абонента на вероятность события "за час произойдет 5 звонков" Р(5зв)= 0,038. Окончательно Р(конкр аб. сделает 5 зв)=0,003*0,038=0,0001.

[Delta3101]

Что думаете по-поводу такого варианта?

у нас есть одна случайная величина Х -количество звонков за час с одного номера, по условию она принадлежит пуассоновскому распределению, то есть (по пределению) $P{X=k} = (\lambdak/k!)*\exp(-\lambda)$ , теперь рассмотрим другую случайную величину Y - количество звонков за час с 300 номеров,
$Y=\sum X_i$ По св-ву пуассоновских потоков $P(Y) = ((300*\lambda)k/k!)*\exp(-300*\lambda)$.
В условии говорится что с 300 номеров в среднем 10 звонков, то есть $M(Y) = 10$, но из вида распределения $M(Y) = 300*\lambda$, поэтому $\lambda = 1/30$. Теперь нас просят найти вер-ть того что с 1-го номера 5 звонков за час, то есть
$P(X=5) = (\lambda^5/5!)*\exp(-\lambda) = 3,32*10^-^1^0.$

[Архипов]

Delta3101 в сообщении #266929 писал(а):

Что думаете по-поводу такого варианта?

у нас есть одна случайная величина Х -количество звонков за час с одного номера, по условию она принадлежит пуассоновскому распределению, то есть (по пределению) $P{X=k} = (\lambdak/k!)*\exp(-\lambda)$ , теперь рассмотрим другую случайную величину Y - количество звонков за час с 300 номеров,
$Y=\sum X_i$ По св-ву пуассоновских потоков $P(Y) = ((300*\lambda)k/k!)*\exp(-300*\lambda)$.
В условии говорится что с 300 номеров в среднем 10 звонков, то есть $M(Y) = 10$, но из вида распределения $M(Y) = 300*\lambda$, поэтому $\lambda = 1/30$. Теперь нас просят найти вер-ть того что с 1-го номера 5 звонков за час, то есть
$P(X=5) = (\lambda^5/5!)*\exp(-\lambda) = 3,32*10^-^1^0.$

Наверное, Вы правы. Я выше пытался применить процедуру выбора, но вычислил таким образом вероятность того, что конкретному абоненту предоставят право сделать 5 попыток позвонить, но не учел того, что остальные 295 попыток позвонить сделают другие.
Вобщем, убедились, что вероятность обсуждаемого события ничтожна.

[Хорхе]

ewert в сообщении #266656 писал(а):

Нет, это как раз вполне естественное предположение. Фактически неправильное, конечно, но вполне естественное. И это вообще не предположение, а условие задачи, фактически оговоренное словами о распределении Пуассона.

Хм, Вы не физик?

Как по мне, ничто условием абсолютно не оговорено. И такое предположение может быть естественно, лишь если звонки имеют нулевую продолжительность (что тоже нигде не написано; если уж так, то формулировать задачу надо не про звонки, а про некие запросы).

-- Вт дек 01, 2009 09:23:07 --

Delta3101 в сообщении #266809 писал(а):

С ОДНОГО НОМЕРА - это с Любого номера из 300, но одного и того же.

Ну тогда это безумно сложно посчитать, я не берусь объяснить.

[ewert]

Хорхе в сообщении #266985 писал(а):

Как по мне, ничто условием абсолютно не оговорено. И такое предположение может быть естественно, лишь если звонки имеют нулевую продолжительность (что тоже нигде не написано; если уж так, то формулировать задачу надо не про звонки, а про некие запросы).

Это -- стандартная задача (исключая слова "с определённого", которые толком-то и не определены). В ней всегда подразумеваются допущения: 1) "звонок" -- это вызов; 2) звонки независимы; 3) с одного номера может поступить только один звонок и 4) абонентов очень много, причём неопределённо много. Тогда это -- именно распределение Пуассона.

С некоторой натяжкой можно считать, что 300 -- это уже "много" и, соответственно, пуассоновость оправданна. Но тогда слова "5 звонков с одного номера" -- явная нелепость.

[Delta3101]

ewert в сообщении #266986 писал(а):

Это -- стандартная задача (исключая слова "с определённого", которые толком-то и не определены). В ней всегда подразумеваются допущения: 1) "звонок" -- это вызов; 2) звонки независимы; 3) с одного номера может поступить только один звонок и 4) абонентов очень много, причём неопределённо много. Тогда это -- именно распределение Пуассона.

С некоторой натяжкой можно считать, что 300 -- это уже "много" и, соответственно, пуассоновость оправданна. Но тогда слова "5 звонков с одного номера" -- явная нелепость.

согласна с вами
а "5 звонков с одного номера" нестандартно, но найти нужно)

[AD]

Delta3101, пожалуйста, исправьте впредь пишите правильно формулы в Ваших сообщениях. Лямбда выглядит гораздо правильнее, если перед ней поставить бекслеш:
$lambda$ vs. $\lambda$

$lambda$ vs. $\lambda$

Кстати, то же самое относится и к exp, если, конечно, не подразумевается $e\cdot x\cdot p$:
$exp x$ vs. $\exp x$

$exp x$ vs. $\exp x$

[Delta3101]

AD в сообщении #267257 писал(а):

Delta3101, пожалуйста, исправьте формулы в Ваших сообщениях. Лямбда выглядит гораздо правильнее, если перед ней поставить бекслеш:
$lambda$ vs. $\lambda$

$lambda$ vs. $\lambda$

Кстати, то же самое относится и к exp, если, конечно, не подразумевается $e\cdot x\cdot p$:
$exp x$ vs. $\exp x$

$exp x$ vs. $\exp x$

Каким образом? мои сообщения, как я понимаю редактировать я не могу...
Переписать заново?

[ewert]

хотя Ваши прегрешения и не вполне грешны, но всё же -- небесполезно и переписать.

Пусть это даже и будет выглядеть излишне назойливо. Но. Во-первых -- кому-то станет понятнее. А во-вторых -- в процессе переписывания не исключено, что и Вам какие умные мысли в голову придут.

[Delta3101]

На данный момент есть 2 предположения как решается данная задача:
1)
у нас есть одна случайная величина Х -количество звонков за час с одного номера, по условию она принадлежит пуассоновскому распределению, то есть (по определению) $P(X=k) = ($\lambda$k/k!)*$\exp (-$\lambda$)$
теперь рассмотрим другую случайную величину Y - количество звонков за час с 300 номеров,
Y=сумма(Xi) По св-ву пуассоновских потоков $P(Y) = ((300*$\lambda$)k/k!)*$\exp (-300*$\lambda$)$.
В условии говорится что с 300 номеров в среднем 10 звонков, то есть $M(Y) = 10$, но из вида распределения $M(Y) = 300*$\lambda$, поэтому $\lambda$ = 1/30$. Теперь нас просят найти вер-ть того что с 1-го номера 5 звонков за час, то есть
$P(X=5) = ($\lambda$^5/5!)*$\exp (-$\lambda$) = 3,32*10^-^1^0.$

2)

Архипов в сообщении #266907 писал(а):

Похоже, составитель задачи хотел спросить про вероятность того, что за час произойдет 5 звонков с любых номеров из 300.
Тогда можно применить фомулу Пуассона $P(5)=10^5/(5!*e^10)=0,038$ Это - вероятность 5 звонков в 300 испытаниях с вероятностью звонка 1/30 по схеме испытаний Бернулли.
А давайте разыграем лотерею среди 300 абонентов с вероятностью выиграть право на очередной звонок (вероятность выигрыша 1/300 в каждом розыгрыше) . Пять талончиков на звонок конкретный абонент выиграет в 300 розыгрышах с вероятностью Р(5/300)= 0,003 по формуле Бернулли. Умножим вероятность выигрыша конкретного абонента на вероятность события "за час произойдет 5 звонков" Р(5зв)= 0,038. Окончательно Р(конкр аб. сделает 5 зв)=0,003*0,038=0,0001.

[Архипов]

Можно еще такой вариант предложить:
Вероятность одного звонка за час с одного конкретного номера 1/30.
В среднем в час происходит 10 звонков с любых номеров. Примем это среднее количество звонков как возможное (хотя оно только наиболее возможное).
Вероятности звонков с одного номера, из 10 возможных, по формуле Бернулли:
Р(0)=0,71
Р(1)=0,25
Р(2)=0,038
Р(3)=0,003
Р(4)=0,0002
р(5)=0,000008.
То есть вероятность 5 звонков с одного номера в течение часа 0,000008.
При этом еще 5 звонков поступят с любых из остальных 299 номеров.