Задача вроде несложная, но не могу никак допереть.
Пусть функции

интегрируемы на отрезке
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
, и пусть последовательность

равномерно ограничена на
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
, т.е.
![$$\exists M>0~~~ \forall x \in [a;b]~~~ \forall n \in \mathbb{N}:~~~ |f_n(x)| \le M$$ $$\exists M>0~~~ \forall x \in [a;b]~~~ \forall n \in \mathbb{N}:~~~ |f_n(x)| \le M$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/3/e9326415397879e1942527e11097b87182.png)
Показать, что из последовательности

, где
![$$F_n(x) = \int\limits_a^x f_n(t)\,dt, ~~~~ x \in [a;b],$$ $$F_n(x) = \int\limits_a^x f_n(t)\,dt, ~~~~ x \in [a;b],$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0de7a0f7f42c054f480a200d2508902882.png)
можно выделить подпоследовательность

, равномерно сходящуюся на отрезке
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
.
Как я понимаю, первая часть задачи дана для запудривания мозгов

. Из первой части можно выяснить лишь то, что функции

будут непрерывными (сразу следует из интегрируемости и ограниченности) и

. Иными словами: нужно показать, что из равномерно ограниченной последовательности непрерывных функций на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность функций.
Очень напоминает всем известную теорему Больцано-Вейерштрасса, только вот подобный алгоритм построения подпоследовательности
функций здесь непонятно как применять.
Есть у кого-нибудь какие-нибудь идеи?