Сравнение степеней

[arseniiv]

Заинтересовался простой задачей "Сравните $8^{92}$ и $3^{180}$". Это то же, что и сравнить $23$ и $15\log_2 3$. А дальше я ушёл в перипетии логарифмирования и только с помощью калькулятора установил, что $23 < 23,75 = 15\log_2 \left({2\sqrt 2 \root{12} \of 2 }\right) < 15\log_2 3$.
Нельзя ли решить проще? А то я сначала подбирал нужную степень 2, честно умножая в столбик руками. Но устал.

Кстати, если у кого-нибудь есть интересная задача посложнее (но не очень, конечно ), напишите её сюда? Было бы интересно испытать себя дальше. Например, на сравнение чьей-нибудь тетрации и двойной степени (а-ля гуголплекс).

[gris]

я попробовал так
$8^{92}\vee 3^{180}$
$8^{92}\vee 9^{90}$
$8^{46}\vee 9^{45}$
$8\vee (9/8)^{45}$
$8\vee (1+1/8)^{45}$
$8\vee 1+45/8+45\cdot22/64+...$
Нуу тут уж ясно...

[Sasha2]

Если разложить 92 и 180 на множетиле, то очень четко бросются в глаза:
92=2*46 и 180=4*45.
Поэтому (после легко перегруппировки), вопрос эквивлентен тому, что больше 64 или $(\frac{81}{64})^{45}$.
Уже четывртая степень дает число больше двух, а их еще как минимум 11 можно накрутить, поэтому вопрос ясен.

[EtCetera]

Можно еще вот так:
$8^{92}=2^{276}=2\cdot\left(2^{11}\right)^{25}=2\cdot 2048^{25}<243\cdot 2187^{25}=3^5\cdot \left(3^7\right)^{25}=3^{180}$

[arseniiv]

Ого!