Тригонометрическое решение уравнения 4-й степени

[dmd]

Тригонометрическое решение уравнения 3-й степени получается из формул для тройного угла:

$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$, либо $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$.

Для четырёх-кратного угла существует формула:

$\left(\frac{\sin 4\alpha}{4}\right)^2 = -\sin^2 \alpha +5\sin^4 \alpha -8\sin^6 \alpha +4\sin^8 \alpha$.

Предлагаю совместно поискать такую замену неизвестного в уравнении 4-й степени, чтобы оно свелось к аналогу правой части формулы четырёх-кратного угла. Нужна замена с тремя параметрами, т.к. три уравнения получатся, либо цепочка из трёх замен. Безуспешно перебрал разные варианты замен неизвестного, просто возможно я не все способы замен знаю.

[worm2]

Боюсь, что немногие уравнения 4-й степени удастся победить таким подходом. Дело в том, что $\sin\left(\frac{1}{4}\arcsin\alpha\right)$ --- это квадратичная иррациональность от $\alpha$ (т.к. дважды применяется формула половинного угла), а при решении уравнения 4-й степени (общего вида) возникают и кубические иррациональности.