Механика и колебания

[invisible1]

Вот попытки решения, помогите разобраться, пожалуйста!!!!!!!
1) Две частицы, каждая массой m, движутся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях вдоль параллельных прямых, расстояние между которыми равно d. Показать что вектор момента импульса этой системы не зависит от выбора начала отсчета.

Не ясно, почему направление вектора момента импульса не зависит от системы отсчета.
Пусть $\vec r_1$ -радиус-вектор к 1 частице
$\vec r_2$ - радиус-вектор к 2 частице
Момент Импульса системы $\vec L=m[\vec v, \vec r_1] - m[\vec v, \vec r_1] = m[\vec v, \vec r_1 - \vec r_2]$
Знак минус появляется из-за того, что скорости частиц направлены в противоположные стороны
$|\vec r_1 - \vec r_2|$ - имеет смысл расстояния между частицами, оно не зависит от системы отсчета.
А как определить
$\vec L=m[\vec v, \vec r_1 - \vec r_2]$ или $\vec L=m[\vec v, \vec r_2 - \vec r_1]$
Это же зависит от того, направление скорости какой частицы мы будем считать положительным, как быть с этим?
2)Какую силу $f$ необходимо приложить к оси колеса в горизонтальном направлении, чтобы оно въехало на прямоугольную ступеньку высоту $h$? Радиус колеса $r$, а масса $M$.
Интересная задача
Я понял, что если $r\leqslant h$, то колесо не въедет на ступеньку.
Теперь, если $r>h$, то может въехать, а может и не въехать.
Можно записать второй закон Ньютона в момент столкновения со стенкой
$m\vec a=\vec N + \vec f + \vec F_{tr} + m\vec g$
$\vec F_{tr}$ - сила трения о горизонтальную поверхность
$\vec N$ Сила реакции опоры угла ступеньки
Интуитивно кажется, что она должна быть направлена к центру колеса. Но почему?
Можно ли это рассматривать как вращательное движение, где $a=\dfra{v^2}{r}$
Можно ли так записать закон сохранения энергии
$\dfrac{mv^2}{2}=mgh$ или тут из-за силы трения его нельзя записать?
Как быть дальше?

3)Обруч радиусом 2 м и весом 8 кг висит на гвозде. Найти частоту малых колебаний обруча. Чему равна длина эквивалентного математического маятника?
даже идей нету...((
4)Синусоидальная волна распространяется вдоль по струне со скоростью $v$ 80 см/с. Смещение точек струны на расстоянии х=10 см изменяется со временем в соответствии с уравнением у=5sin (1-4t)в см. Линейная плотность струн 4 г/см. Найти: частоту волны, длину волн. Написать уравнение волны.

Вместо в там имелось ввиду $\omega$?
Зачем нужна линейная плотность струн?
Единственное, что приходит в голову - это формула
$v=\omega \cdot r = 2\pi \nu \cdot r$
5)Определить значение J механического эквивалента теплоты из следующих данных: в систему поступило 2000 кал теплоты; система совершила 3350 Дж механической работы; внутренняя энергия системы увеличилась на 5030 Дж
Прочитал определение механический эквивалент теплоты -
количественное соотношение между механической и тепловой энергией
Можно здесь записать первое начало термодинамики
$\Delta U = \Delta Q + \Delta A$

[meduza]

1) Во-первых, вы перепутали порядок членов в векторном произведении для момента импульса, $\vec L = [\vec r \vec p] = m [\vec r \vec v]$, а не наоборот. Во-вторых, $\vec L_1 + \vec L_2 = [\vec r_1 \vec p] - [\vec r_2 \vec p] = [\vec r_1 - \vec r_2, \vec p]$: если мы положительное направление скорости примем для первой частицы, тогда первый множитель в векторном произведении будет $\vec r_1 - \vec r_2$, если же для второй -- то $\vec r_2 - \vec r_1$. Т. е. при изменении проложительного направления скорости также изменяется знак первого множителя, произведение же их остаётся одним и тем же.

3) Это физический маятник. Найди момент инерции относительно точки подвеса и посмотри на формулы для периода колебаний физического и математического маятника.

[ewert]

invisible1 в сообщении #265707 писал(а):

Показать что вектор момента импульса этой системы не зависит от выбора начала отсчета.

Не ясно, почему направление вектора момента импульса не зависит от системы отсчета.

Требовалось показать, что он не зависит от начала отсчёта, а не от системы. От системы он, конечно, зависит, но -- тривиальным образом: он направлен либо в одну сторону, либо ровно такой же по величине, но -- направлен противоположно. Ибо момент -- это некоторое векторное произведение, и направлен он всегда перпендикулярно соответствующей плоскости, а в какую из двух возможных сторон -- зависит от выбора системы координат: правая она или левая.

Впрочем, это лишь вопрос договорённости. Написанное выше относится к случаю, когда векторное произведение по определению считается задаваемым соотв. определителем (и тогда его модно называть "псевдовектором"). А если за исходное определение векторного произведения принять чисто геометрическое -- то результат от выбора системы координат зависеть не будет, но зато координаты будут (в зависимости от системы) даваться то ли плюс, то ли минус тем определителем.

-- Пт ноя 27, 2009 17:00:36 --

invisible1 в сообщении #265707 писал(а):

3)Обруч радиусом 2 м и весом 8 кг висит на гвозде. Найти частоту малых колебаний обруча. Чему равна длина эквивалентного математического маятника? даже идей нету...((

Совершенно напрасно нет. "Математический маятник" -- это просто материальная точка на подвесе, и период его колебаний (в зависимости от длины) все знают. Для "физического" маятника период (а именно равенство периодов и понимается под эквивалентностью) определяется соотношением между моментом инерции и положением центра масс (ну плюс там другие очевидные множители). Однако центр масс обруча тривиален, его момент инерции относительно центра -- тоже, и есть общеизвестная теорема о том, как меняется момент инерции при смещении оси вращения относительно центра масс.

[invisible1]

1) Да,ewert, правильнее говорить, что $\vec L$ не зависит от начала отсчёта, понял теперь, спасибо)
2) Момент инерции обруча относительно его центра масс
$I_c=\dfrac{m(R^2+R_1^2)}{2}$
$R$ - внешний радиус
$R_1$ - внутренний радиус
В предположении, что обруч очень тонкий
$I_c=m\cdot R^2$
По теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции относительно точки подвеса равен
$I=I_c+m\cdot R^2=2m\cdot R^2$
Период малых колебаний физического маятника
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgh}}=2\pi\sqrt{\dfrac{2m\cdot R^2}{mgR}}=2\pi\sqrt{\dfrac{2\cdot R}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$
Поэтому, $l=2R$ Правильно?)

[meduza]

invisible1 в сообщении #265787 писал(а):

Это не понял, как же определяется период физического маятника?) Осталось только это понять, что же за соотношение?

Есть в любом учебнике по физике.

[invisible1]

Да, спасибо meduza
А я уже исправил в надежде, что никто не заметит)))
Осталось найти частоту
$\nu=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{2\cdot R}}=\sqrt\dfrac{10}{(6.28)^2\cdot 4}}$Гц$=0.06338999$Гц

Ответ:
$\nu=0.06338999$Гц
$l=4$м
Правильно теперь?
С 1 и 3 разобрался, а как в остальных лучше действовать?!

[ewert]

2). Никаких энергий там не нужно -- это же не весь процесс подъёма, а лишь его начало.

А для начала надо, чтобы суммарный момент сил относительно угла ступеньки был направлен в требуемую сторону. Т.е. при минимально необходимой силе этот момент должен быть равен нулю. А сил там -- и всего-то две, и обе приложены к центру: одна -- это сила тяжести, вторая -- искомая.
(Собственно моментов писать не нужно -- достаточно потребовать, чтобы равнодействующая была направлена куда положено.)

[invisible1]

ewert, спасибо!
А почему $\vec N$ направлен к центру? А как же трение?
Уравнение движения в проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону движения колеса
$Ma=f-Mg\cos\alpha$
$\cos\alpha=\frac{r^2-(r-h)^2}{r^2}=\frac{h^2+2rh}{r^2}$
Отсюда
$f=M(a+g\frac{h^2+2rh}{r^2})$
Запутался...

[ewert]

госсподи. Да просто нарисуйте силу тяжести, перпендикулярную к ней искомую силу (они обе приложены к центру) -- и потребуйте, чтобы линия, по которой направлена их сумма, проходила выше угла ступеньки.

[invisible1]

ewert - непонятно...
Эти силы взаимно перпендикулярны, поэтому, если мы их спроецируем на горизонтальную или вертикальную ось, то одна из них будет равна нулю.
А если спроецировать на линию, которая проходит выше угла ступеньки, то будет так
обозначим за $\alpha$ угол между горизонтальным направлением и направлением на уголок.
Тогда
Суммарная сила будет $f\cos\alpha -mg\sin\alpha$

-- Сб ноя 28, 2009 20:10:30 --
$\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ можно найти из геометрических соображений, но какой смысл всего этого?
А куда делась сила реакции опоры?!

[ewert]

invisible1 в сообщении #266070 писал(а):

А куда делась сила реакции опоры?!

А она моментально исчезнет, как только колесо хоть чуток оторвётся.

-- Сб ноя 28, 2009 20:22:41 --

invisible1 в сообщении #266070 писал(а):

Тогда
Суммарная сила будет $f\cos\alpha -mg\sin\alpha$

Только наоборот -- нас интересует составляющая той силы не вдоль, а поперёк той линии.

[invisible1]

ewert в сообщении #266078 писал(а):

invisible1 в сообщении #266070 писал(а):

А она моментально исчезнет, как только колесо хоть чуток оторвётся.

А уголком ведь будет касаться?!
Т.е. чтобы колесо перекатилось нужно преодолеть силу тяжести, спроецированную на на направление "перескока"
$f_{min}\sin\alpha -mg\cos\alpha=0$
$f_{min}=mg\ctg\alpha=mg\dfrac{r-h}{r^2-(r-h)^2}$
Если $f>f_{min}$, то колесо перекатиться...

-- Сб ноя 28, 2009 21:25:48 --

Спасибо!!!!
А можете что-то подсказать по поводу 4 и 5?!

[ewert]

4) -- перепишите грамотно в ТеХе, пока понять что-то трудно, а разгадывать ребусы нет никакого желания.

5) -- просто какой-то бред.

[invisible1]

4) Синусоидальная волна распространяется вдоль по струне со скоростью $v=80$ см/с. Смещение точек струны на расстоянии $x=10$ см изменяется со временем в соответствии с уравнением $y=5\sin[\omega\cdot(1-4t)]$ см. Линейная плотность струн $\rho = 4$ г/см. Найти: частоту волны $\nu$, длину волны $\lambda$. Написать уравнение волны.


Попытки решения
Единственное, что приходит в голову - это формула
$v=\omega \cdot r = 2\pi \nu \cdot r$
Зачем нужна линейная плотность струн?

5) Определить значение J механического эквивалента теплоты из следующих данных: в систему поступило 2000 кал теплоты; система совершила 3350 Дж механической работы; внутренняя энергия системы увеличилась на 5030 Дж


Попытки решения
Прочитал определение механический эквивалент теплоты -
количественное соотношение между механической и тепловой энергией
Можно здесь записать первое начало термодинамики
$\Delta U = \Delta Q + \Delta A$

[invisible1]

В 4 $y$ все таки так записывается...
$y=5\sin(1-4t)$ см.