shevnin_anton1)
a) Пространство дискретно

всюду плотно в нем только оно само
Допустим, что это не так. Тогда в этом дискретном

плотно некоторое

, которое не содержет некоторую

. Теперь вспоминаем определение дискр. топологии и имеем противоречие.
b) Пусть всюду плотно в нем только оно само

оно дискретно.
От противного. В самом деле, пусть есть некоторая точка

, не являющаяся открытым множеством. Значит, в любой (открытой) окрестности этой точки есть какие-то другие точки пространства

. Значит, можно получить всюду плотное мн-во, отличное от

точкой

.
2) Сфера Римана, стереографическая проекция.