помогите с доказательствами по топологии

[shevnin_anton]

Здравствуйте.
Помогите доказать 2 вещи по топологии, или подскажите литературу в которой приведены эти доказательство.

нужно доказать 2 вещи:
1) что топологическое пространство дискретно тогда, и только тогда, когда всюду плотно в нём только оно само.
2) что сфера без точки гомеоморфна плоскости.


Заранее благодарен.

[ewert]

1). Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.

2). Посадите сферу на плоскость противоположной точкой, установите биекцию сферы и плоскости, проводя лучи из (отсутствующей) верхней точки на плоскость, и докажите, что это гомеоморфизм.

[id]

shevnin_anton
1)
a) Пространство дискретно $\Rightarrow$ всюду плотно в нем только оно само
Допустим, что это не так. Тогда в этом дискретном $X$ плотно некоторое $Y$, которое не содержет некоторую $x \in X$. Теперь вспоминаем определение дискр. топологии и имеем противоречие.
b) Пусть всюду плотно в нем только оно само $\Rightarrow$ оно дискретно.
От противного. В самом деле, пусть есть некоторая точка $x$, не являющаяся открытым множеством. Значит, в любой (открытой) окрестности этой точки есть какие-то другие точки пространства $X$. Значит, можно получить всюду плотное мн-во, отличное от $X$ точкой $x$.

2) Сфера Римана, стереографическая проекция.

[shevnin_anton]

а по 2 доказательству...можно что-то более подробное..
или искать информацию по данному материалу?

[id]

shevnin_anton
Да хотя бы в Вики есть. А вообще это часто бывает при введении комплексных чисел, в начале "Введения в комплексный анализ" т. 1 Шабата есть.

[shevnin_anton]

насчет второго доказательства.
нужно доказать что отображене из сферы в плоскость непрерывно....

[ewert]

Это геометрически очевидно. Если окружить произвольную точку на сфере любым достаточно малым "кругом" (фактически шапочкой), не захватывающим выколотую вершину, то образом этого круга на плоскости будет некоторый эллипс, содержащий внутри себя образ той точки. Это уже означает непрерывность отображения с плоскости на сферу. А поскольку при стремлении к нулю размеров круга стремятся к нулю и размеры эллипса -- непрерывно и обратное отображение.

[shevnin_anton]

Если окружить произвольную точку на сфере любым достаточно малым "кругом" (фактически шапочкой), не захватывающим выколотую вершину, то образом этого круга на плоскости будет некоторый эллипс, содержащий внутри себя образ той точки. Это уже означает непрерывность отображения с плоскости на сферу. А поскольку при стремлении к нулю размеров круга стремятся к нулю и размеры эллипса -- непрерывно и обратное отображение.

в этом доказательстве препод докопался к словам "некоторый эллипс, содержащий внутри себя образ той точки. "

может тут должен быть не эллипс а окрестность точки.
может есть ещё какое-то доказательство...де его можно посмотреть? и что в доказательстве не так?

[ewert]

shevnin_anton в сообщении #265771 писал(а):

в этом доказательстве препод докопался к словам "некоторый эллипс, содержащий внутри себя образ той точки. "

может тут должен быть не эллипс а окрестность точки.

Образ точки лежит внутри эллипса (т.е. не на самом эллипсе) -- и, следовательно, лежит внутри вместе с некоторой своей окрестностью.