Разложение в степенной ряд

[Alex696]

Необходимо разложить в степенной ряд функцию $f(x) = x*sqrt(x)$. За рядом Тейлора не получается,
$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$
так как не понимаю в этой формуле значения а
Каким еще образом можно совершить разложение не прибегая к дифференцированию и был бы рад небольшому пояснению насчет формулы ряда Тейлора. Спасибо.

[gris]

$a$ это точка, в окрестности которой мы раскладываем функцию. Ряд так и называется - ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$. Для существования ряда необходимо, чтобы функция была бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки $a$. Про условия и скорость сходимости ряда можете прочитать в учебнике.
При разложении в ряд надо указывать интервал, в котором вы хотите разложить функцию. Для $f(x)=x\sqrt x$ можно, например, взять $a=1$ и интервал $(0,1;2)$

[Alex696]

gris в сообщении #265430 писал(а):

$a$ это точка, в окрестности которой мы раскладываем функцию. Ряд так и называется - ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$. Для существования ряда необходимо, чтобы функция была бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки $a$. Про условия и скорость сходимости ряда можете прочитать в учебнике.
При разложении в ряд надо указывать интервал, в котором вы хотите разложить функцию. Для $f(x)=x\sqrt x$ можно, например, взять $a=1$ и интервал $(0,1;2)$

Допустим нам нужно протабулировать столько то точек на интервале $(a, b)$ - найти значения функции в этих точках, соответственно эти точки будут аргументами функции. Но когда мы хотим разложить её в ряд, и использовав его найти значения, не значит ли что это а (которое в формуле Тейлора) будет совпадать с точкой, которую табулируем? Извиняюсь, если не четко сформулировал вопрос.

[gris]

В качестве точкм разложения функции мы можем брать разные значения, не обязательно начало интервала табулирования. У нас будут получаться разные по форме ряды, но сходиться они будут к одной функции (если, конечно, со сходимостью нет проблем). Если интервал табулирования длинный, то скорость сходимости далеко от точки разложения может резко уменьшиться. В этом случае берут несколько точек, значения функции в которых известны точно, и по ним рассчитывают промежуточные. для Вашей функции это точки 1,4,9,16...

например мы взяли а=4. найдём вручную коэффициенты ряда, определим погрешность вычисления и необходимое число членов для точек табулирования и будем считать. пусть на интервале от 3 до 6. то есть для точек 3,1;3,2;3,3...5,8;5,9 формула ряда и значение а будут одинаковыми, хотя число необходимых слагаемых может увеличиваться. потом возьмём в качестве точки разложения а=9.

[Alex696]

$\sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}
Разложил по этой формуле функцию $f(x)=x\sqrt x$
Вычисляю дробную часть аргумента по ней, оставив значение целой части от от вычислений от изначальной функции. А теперь более общий вопрос, может слегка и не в тему: есть ли типичным то, что погрешность (разница значений функции и её же разложенной через ряд) выражается чередующимися то отрицательными, то положительными значениями? Не свидетельствует ли это о неправильном разложении в ряд?

[Alex696]

Разобрался. Достаточно просто взять модуль, по условию задачи.
2gris:
Спасибо за помощь в теме!