Физическая интерпретация теоремы о дивергенции

[Alexey1]

Подскажите как разобраться с физической интерпретацией теоремы о дивергенции
$\int \int \int_{R} \mathbf{div F} dV = \int \int _{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dA$.
Объемный интеграл имеет следующую интерпретацию.
Пусть $F(x,y,z)$ есть векторное поле в $R^3$ представляющее скорость течения жидкости в каждой точке (то есть производная каждой компоненты по времени) в фиксированный момент времени.
Рассмотрим точку $(x,y,z)$ и область с сторонами $dx, dy, dz$ для которой рассматриваемая точка является левой нижней вершиной.
Жидкость вытекаемая из правой стороны прямоугольника по направлению перпендикулярному оси $x$ равна $F(x+dx,y,z)dydz$. Жидкость втекаемая в прямоугольник с левой стороны в том же направлении равна $F(x,y,z)dydz$. Общий поток жидкости через левую и правую грани прямоугольной области равен $(F(x+dx,y,z)-F(x,y,z))dydz =F_x (x,y,z)dxdydz$. Аналогично с остальными гранями прямоугольной области.
Таким образом, $dQ=(F_x+F_y+F_z)dV$, где $Q$ общий поток вытекаемой жидкости. Отсюда следует и интерпретация дивергенции как поток векторного поля на единицу объёма.
А вот какую интерпретацию имеет поверхностный интеграл?

[gris]

А разве первый интеграл не равен сумме источников и стоков несжимаемой жидкости в объёме, а поверхностный - общему количеству жидкости, пересекшей границу с учётом направления? Если стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга, то сколько жидкости протекло внутрь области, столько её и вытекло. Здесь важна несжимаемость.

[Alexey1]

Это понятно. Но вот как получить аналогичную интепретацию для поверхностного интеграла? Той интерпретации объёмного интеграла которая приведена достаточно, чтобы понять, что объёмный интеграл это сумма источников и стоков. Как теперь понять что означает поверхностный интеграл? Что физически будет означать вектор нормали? Почему не любой другой вектор а именно направление нормали?

[Someone]

Возьмите маленькую площадку на поверхности и попробуйте определить объём жидкости, протекшей через эту площадку за единицу времени.

[gris]

Проекция скорости на вектор нормали и равна скорости движения жидкости сквозь поверхность. А поверхностный интеграл как бы суммирует движение жидкости именно сквозь, через поверхность. Для этого нужна нормальная составляющая скорости.

[Alexey1]

Сейчас стало понятнее, спасибо. Я просто не встречал такого определения скорости, хотя оно имеет смысл. Если знаете, подскажите, где можно почитать про такое определене скорости как проекция вектора скорости на вектор нормали.

[gris]

матан, поверхностные интегралы, формула Остроградского.
А конкретно про скорость и нормаль ЛЛ "Гидродинамика" самый первый параграф самой первой главы со слов "Через элемент поверхности..."

Подсказка: Через площадку в касательной плоскости при однородном поле (это наши приближения) за единицу времени пройдёт жидкость, находящаяся в наклонной призме, объём наклонной призмы (цилиндра) равен произведению площади основания на высоту, высота равна проекции бокового ребра (образующей) на перпендикуляр к основанию. А проекция равна скалярному произведению образующей и единичного вектора нормали.