Полученное при дифференцировании уравнения функции уравнение первой производной, решаемое в целых числах, дает иррациональное дробное число. Можно ли из этого сделать вывод, что в этом случае решение уравнения самой функции в целых числах всегда дает дробное число?
Не ясно, что такое уравнение данной функции. Если это "

", то бессмысленно говорить, что его решением является иррациональное число, потому что это уравнение с двумя переменными и его решениями являются
упорядоченные пары чисел, а не числа.
Другой вариант понимания: уравнением данной функции

является уравнение "

". Тогда сформулированное Вами утверждение не верно - tolstopuz привел контрпример.