случайная последовательность

[malin]

Помогите, пожалуйста, определить понятие случайной последовательности.
(Мне не нужно определение случайной последовательности независимых случайных величин $\xi_1,\xi_2,...$).

Достаточно дать определение случайной последовательности элементов конечного вероятностного пространства.

А если кто-нибудь скажет определение случайной последовательности элементов дискретного вероятностного пространства, то будет просто прекрасно.

P.S. Ну или ссылку дайте, где почитать можно.

[Henrylee]

А случайная последовательность это и есть просто последовательность с.в. Можно также говорить, что это измеримое отображение $\Omega\rightarrow \mathbb{R}^\infty$. При этом вероятностное пространство может быть каким угодно.
Можно только сказать, что если оно дискретно, то элементы последовательности также дискретные с.в.
А лучше всего, если Вы скажете, что Вас сподвигло на этот вопрос.

[malin]

Нет-нет, не так. Сейчас уточню, что мне всё-таки нужно.
Пусть $\Omega\subset\mathbb{Z}$. Для начала пусть$\Omega$ конечно, т. е. $\Omega\ = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_m\}$.
Пусть далее $\{x_n\} = \omega_i_1, \omega_i_2, ...$ - последовательность элементов из $\Omega$.
Хотелось бы определить понятие случайности для $\{x_n\}$

Цитата:

А лучше всего, если Вы скажете, что Вас сподвигло на этот вопрос.

А для чего мне это нужно? Ну, для формализации данных, полученных в ходе написания курсовой работы. В процессе написания возникают разного рода задачи, как то: выяснить мат. ожидание и дисперсию числа итераций, требующегося для вычисления НОД случайного вектора $(\xi_1, \xi_2)$, равномерно распределённого на $\{1,2,...,N\}^2$, при $N \to\infty$.

При этом можно пользоваться численными методами, т. е. ответ может быть получен в некотором смысле эмпирическим путём.

Для этого я придумал небольшое утверждение(скорее всего, оно уже придумано, но это не важно), заключающееся в том, что:

Утв.: Пусть $\Omega\subset\mathbb{Z}$ - конечно(можно взять и дискретным, но тогда возникают небольшие трудности с доказательством). Причём $P(\omega_i) = p_i$; $\{x_n\} = \omega_i_1, \omega_i_2, ...$ - последовательность элементов из $\Omega$, удовлетворяющая условию:$(*)$ для любого $i$ $\lim\limits_{N\to\infty} (\sum\limits_{x_j = \omega_i , j<N}&{x_j / N}) = p_i\omega_i$.
Пусть далее $\xi$ - случайная величина, заданная на $(\Omega,A,P)$.
Тогда $E\xi = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i = 1}^N &\xi(x_i)/N$, если оно, конечно, существует.

Ну и далее из этого утверждения много чего хорошего и интересного следует.
Так вот, мне кажется, что если $\{x_n\}$ - случайная, то она удовлетворяет условию $(*)$.
ну вот эти мат. ожидания и дисперсии я вычисляю так: генерю достаточно длинную ПСП(с помощью ЛКГ), потом вычисляю от каждого её элемента $x_i$ $\xi(x_i)$ и потом среднее арифметическое по всем $i$ $\xi(x_i)$.

Ну и требуется соответствующее определение, да и самому просто интересно.
P.S.: Хоть немного техом пользоваться научился

[Someone]

Д.Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. "Мир", Москва, 1977.

Цитата:

*3.5. Что такое случайная последовательность?

[malin]

Спасибо большое, Someone. Буду читать, разбираться. А так хотелось какого-нибудь небольшого и понятного определения. Наверное, такого и нет .
Почти наверное

[Henrylee]

Есть ощущение, что Вы изобретаете велосипед, а он не едет. Вобщем-то мысли вроде как правильные, например, утверждение о равенстве предела нормированных сумм и матем. ожидания это не что иное как УЗБЧ (при условии существования м.о. и одинаковой распределенности с.в.). Но с обозначениями и терминами некоторая каша - что у Вас $x_i$, что $\xi_i$, где с.в., а где элементы вероятностного пространства..Общий совет Вам дали верный - читайте книжки, разберитесь что есть что и кто, а то даже формулировка вопроса непонятна.

[malin]

Я прошу прощенья, но где вы увидели $\xi_i$?
А $x_i$ - это $i$ - ый член последовательности $\{x_n\}$

В УЗБЧ говорится о последовательности случайных величин, у меня же последовательность чисел.
И всего одна случайная величина $\xi$.

[Henrylee]

malin в сообщении #263996 писал(а):

Я прошу прощенья, но где вы увидели $\xi_i$?

Да, действительно явно вроде бы $\xi_i$ нигде нет, но Вы же сами пишете

malin в сообщении #263274 писал(а):

$\{x_n\}$ - случайная

поэтому и $\xi(x_i)$ тоже с.в.

malin в сообщении #263996 писал(а):

В УЗБЧ говорится о последовательности случайных величин, у меня же последовательность чисел.
И всего одна случайная величина $\xi$.

Опять же см. выше. А $x_i$ у вас по ходу не числа, а с.в $\Omega\rightarrow\Omega$.
И что я тут понял неправильно?

-- Сб ноя 21, 2009 11:46:18 --

То есть как я понял Вы говорили о случайной последовательности, образ которой находится в $\Omega$. Можно ведь веести еще одно $\Omega_1$ и $x_i:\Omega_1\rightarrow\Omega$


PS Пересмотрел еще раз - если все же $x_i$ это просто числа (а не с.в.), то формула, которую я принял за УЗБЧ, просто определение м.о. для конечного в.п. Только придел еще пришит зачем-то. $\Omega$-то конечно.
PPS И условие утверждение тогда это что.. сходимость частоты появления в случайной (!) последовательности $\{x_n\}$ значения $\omega_i$ к м.о.? Типа збч Бернулли?
Вы уж определитесь $\{x_n\}$ числовая последовательность (фикс.) или случайная (т.е. функциональная, например, случайная перестановка)

[malin]

Henrylee, благодарю за тщательный анализ Утв.

Цитата:

То есть как я понял Вы говорили о случайной последовательности, образ которой находится в $\Omega$

Да, действительно. $\{x_n\} : \mathbb{N}\rightarrow\Omega$.
Постараюсь на остальное ответить - только какая-то каша в вопросах, я запутался, ща всё распишу.

Цитата:

Пересмотрел еще раз - если все же это просто числа (а не с.в.), то формула, которую я принял за УЗБЧ, просто определение м.о. для конечного в.п. Только придел еще пришит зачем-то. -то конечно.

Пожалуйста, укажите формулу, которую вы имеете в виду. Если вы об этой формуле:

$$E\xi = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i = 1}^N &\xi(x_i)/N$$

, то непонятно, что вы получите, убрав предел. И каким нужно будет выбрать $N$?

Цитата:

Вы уж определитесь $\{x_n\}$ числовая последовательность (фикс.) или случайная (т.е. функциональная, например, случайная перестановка)

$\{x_n\}$-числовая последовательность, удовлетворяющая условию $(*)$.
Я не утверждаю, что $\{x_n\}$ - случайная. Я просто говорю, что если она случайная, то она так же удовлетворяет условию $(*)$. (Интуитивно ясно, но непонятно, в силу того, что я не знаю, что такое случайная последовательность)

[Henrylee]

malin в сообщении #264481 писал(а):

Henrylee, благодарю за тщательный анализ Утв.

Цитата:

То есть как я понял Вы говорили о случайной последовательности, образ которой находится в $\Omega$

Да, действительно. $\{x_n\} : \mathbb{N}\rightarrow\Omega$.

говорите да (случайная), а фактически пишите "нет, числовая". Хорошо, пусть так.

malin в сообщении #264481 писал(а):

Если вы об этой формуле:

$$E\xi = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i = 1}^N &\xi(x_i)/N$$

, то непонятно, что вы получите, убрав предел. И каким нужно будет выбрать $N$?

Если $\Omega=\{x_n\}_{n=1}^N$, то, приписывая $P(x_i):=1/N$, Ваше выражение (значок предела убираем) становится просто определением матем. ожидания дискретной с.в. $\xi$, принимающей все свои ($N$ штук) значения с равной вероятностью ($1/N$)

malin в сообщении #264481 писал(а):

$\{x_n\}$-числовая последовательность, удовлетворяющая условию $(*)$.
Я не утверждаю, что $\{x_n\}$ - случайная. Я просто говорю, что если она случайная, то она так же удовлетворяет условию $(*)$. (Интуитивно ясно, но непонятно, в силу того, что я не знаю, что такое случайная последовательность)

Интуитивные понятия в ТВ часто подводят. Что такое случ. посл. было сказано с самого начала. Вы ведь знаете, что случайная величина это функция? Поэтому случ. посл. это последовательность функций. А если Вы хотите считать $\{x_n\}$ случ. посл.-ю, то обязаны придумать для нее вероятностное пространство.
Может рассмотреть такую модель: зададим семейство независимых (для начала) одинаково распределенных целочисленных случайных величин
$x_n(\tilde\omega):\tilde\Omega\rightarrow\mathbb{N}$ на вероятностном пространстве $(\tilde\Omega,\tilde{\cal B},\mathbb{P})$
(То есть случайную последовательность с независимыми компонентами)
C.в. $x_1(\tilde\omega)$ индуцирует вероятностное порстранство $(\mathbb{N},{\cal B},\mathbb{P}x_i^{-1})$. Возьмем на этом пространстве некоторую с.в. $\xi$. Тогда формулу выше можно понимать как усиленный закон больших чисел для последовательности $\xi_i=\xi(x_i)$ ($\xi_i$ независимы и заданы на $\tilde\Omega$ в отличие от $\xi$, которая задана на $\Omega$). Действительно, $E_{\tilde\Omega}\xi_i=E_{\Omega}\xi$.
Далее можно отказаться от условия независимости $x_n(\tilde\omega)$. Тогда узбч также может выпоняться при определенных условиях.

[malin]

Нет, зачем же менять обозначения? Во-первых, $\Omega \not= \{x_n\}_{n=1} ^N$. Во - вторых, $P(\omega_i)$ ,вообще говоря, не равна $1/N$. Напомню обозначения:

Цитата:

Нет-нет, не так. Сейчас уточню, что мне всё-таки нужно.
Пусть $\Omega\subset\mathbb{Z}$ Для начала пусть конечно, т. е. $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$
Пусть далее $\{x_n\} = \omega_{i1},\omega_{i2}, ...$ - последовательность элементов из $\Omega$.

Поэтому, если разобраться ещё чуть-чуть, становится понятна нетривиальность формулы(о которой идёт речь).

Насчёт модели:
что такое $\tilde{\Omega}$? ну и остальные "тильды" тоже интересны(может быть, это общепринятые обозначения, но я пока не очень знаком с мат. статистикой ).
И ещё: при таком построении случайные величины $\xi_i$ будут заданы на разных в.п. Это нормально?

[Henrylee]

Теперь рассмотрим в рамках этой модели Ваше утверждение. По шагам.

malin в сообщении #263274 писал(а):

Утв.: Пусть $\Omega\subset\mathbb{Z}$ - конечно

Смело берем $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_N\}$.

malin в сообщении #263274 писал(а):

Причём $P(\omega_i) = p_i$;

В новой модели $P=\mathbb{P}x_1^{-1}$. В переводе получаем
$\mathbb{P}\{x_1(\omega)=\omega_i\}=p_i$, $i=1,2,\dots,N$.

malin в сообщении #263274 писал(а):

$\{x_n\} = \omega_i_1, \omega_i_2, ...$ - последовательность элементов из $\Omega$

т.е. случайная последовательность $(x_1(\omega),x_2(\omega),\dots)$

malin в сообщении #263274 писал(а):

, удовлетворяющая условию:$(*)$ для любого $i$ $\lim\limits_{N\to\infty} (\sum\limits_{x_j = \omega_i , j<N}&{x_j / N}) = p_i\omega_i$.

Чтобы избежать путаницы заменим $N$ на $n$ (т.к. $N$ это все-таки фиксированное число элементов вероятностного пространства $\Omega$)

Смотрим и удивлямся: допредельное выражение это не что иное, как $\omega_i\frac{k}{n}$, где $k$ - число попаданий в значение $\omega_i$ в течение $n$ независимых опытов (пока договорились, что $x_n(\omega)$ независимы).
Ну и куда стремится частота $\frac{k}{n}$ в схеме Бернулли? Ввиду УЗБЧ, конечно к $p_i$. Т.е. предел, конечно, $p_i\omega_i$

-- Пн ноя 23, 2009 00:26:26 --

malin в сообщении #264526 писал(а):

Нет, зачем же менять обозначения? Во-первых, $\Omega \not= \{x_n\}_{n=1} ^N$. Во - вторых, $P(\omega_i)$ ,вообще говоря, не равна $1/N$. Напомню обозначения:

Цитата:

Нет-нет, не так. Сейчас уточню, что мне всё-таки нужно.
Пусть $\Omega\subset\mathbb{Z}$ Для начала пусть конечно, т. е. $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$
Пусть далее $\{x_n\} = \omega_{i1},\omega_{i2}, ...$ - последовательность элементов из $\Omega$.

Поэтому, если разобраться ещё чуть-чуть, становится понятна нетривиальность формулы(о которой идёт речь).

Да, я уже понял, что Вам не это надо.
Поэтому предлагаю модель, описанную выше.

malin в сообщении #264526 писал(а):

Насчёт модели:
что такое $\tilde{\Omega}$? ну и остальные "тильды" тоже интересны(может быть, это общепринятые обозначения, но я пока не очень знаком с мат. статистикой ).
И ещё: при таком построении случайные величины $\xi_i$ будут заданы на разных в.п. Это нормально?

"Тильдами" я просто обозначил объекты, относящиеся к новому вероятностному пространству. Чтобы новых букв не вводить.
$\xi_i$ на одном порстранстве заданы. На $\tilde\Omega$. Чтобы было понятно совсем: $\xi_i=\xi_i(\tilde\omega)=\xi(x_i(\tilde\omega))$

-- Пн ноя 23, 2009 00:40:24 --

Резюме: Если Ваша случайная последовательность состоит из независимых с.в. $x_i$, то условие (*) выполняется как узбч для схемы Бернулли. Формула с $\xi$ также выполняется как узбч для независимых одинаково распределенных с.в., имеющих м.о. Причем оба выржения имеют место всегда и совершенно независимо друг от друга.

Если же Вы предполагаете свою случ. последовательность зависимой, то Ваше утверждение будет кторотко звучать как "если имеет место узбч для схемы зависимых испытаний, то имеет место и узбч для функций от этих испытаний".

[malin]

Отдельное спасибо за:

Цитата:

Если Ваша случайная последовательность состоит из независимых с.в. $x_i$, то условие (*) выполняется как узбч для схемы Бернулли. Формула с $\xi$ также выполняется как узбч для независимых одинаково распределенных с.в., имеющих м.о. Причем оба выржения имеют место всегда и совершенно независимо друг от друга

, теперь есть хоть идеи, что всё к узбч для схемы Бернулли сводится, можно не мучаться, "изобретая велосипед".
А вот насчёт этого:

Цитата:

Если же Вы предполагаете свою случ. последовательность зависимой, то Ваше утверждение будет кторотко звучать как "если имеет место узбч для схемы зависимых испытаний, то имеет место и узбч для функций от этих испытаний".

Благодарю Вас!
Я понял. И модель, и всё остальное... Спасибо, что помогли сформулировать утверждение.
Последний вопрос(не особо сильно относящийся к делу, но нужный для курсовой): Последнее утверждение было кем либо доказано(опровергнуто), опубликовано, и т.п., или это новый результат?

[Henrylee]

malin в сообщении #264537 писал(а):

или это новый результат?

К сожалению, в такой постановке факт достаточно тривиальный.