Центр тяжести сегмента круга

[Cobalt_]

Сегмент (не сектор!) задан радиусом окружности R и углом раствора $\phi$
1. Найти центр тяжести дуги
2. Найти центр тяжести сегмента
Использовать циллиндрическую систему координат.

Попытка решения в декартовых координатах привела к многоэтажному несокращающемуся выражению.
Чтобы решить в циллиндрических координатах, думаю следует найти центр тяжести сектора, потому что сектор - это сегмент плюс треугольник, а центр тяжести треугольника известен (точка пересечения медиан).
Чтобы найти центр тяжести сегмента, видимо нужно разбить его на большое количество равнобедренных треугольников и проинтегрировать. Трудность с составленим интеграла в цилиндрических координатах. Также не совсем понятно с центром тяжести дуги. Если не сложно, дайте ссылку на похожий пример или теоретическую выкладку. Прошу отнестись с пониманием, курс матанализа был давно

[Sintanial]

Как факт
Центр тяжести дуги $R\frac {sin(\varphi)}{\varphi}$
Центр тяжести сектора $\frac 2 3 R\frac {sin(\varphi)}{\varphi}$
Центр тяжести Двух прямоугольных треугольников(имеется ввиду треуголник который образует сектор) $\frac 2 3 R cos(\frac {\varphi}{2})$ ( Вроде так =) )
Дальше применяйте свои рассуждения =)... у вас дан ц.т. Треугольника, ц.т. Сектора...

Если надо написать выкладки все, как это получилось то я могу написать но это долговато ( из за того что нужно рисунок вставлять....и по нему уже выводить)....но если срочно надо то намекните, я выложу

З.ы. Эти формулы можно доказывать как из обычной геометрии так и через интегралы.....через геометрию проще =)

[Cobalt_]

Разобрался. Действительно, аналитически довольно просто доказывается. Ц.т. каждого треугольника, на которые разбит сектор - на пересечении их медиан. Эти точки образуют дугу. Ну а ц.т. дуги известен...
Но вообще, насколько я понял, ожидается решение через интеграл, так что был бы благодарен...

[ewert]

1). $x_c=m^{-1}\int x\,dl=\left(\int dl\right)^{-1}\int x\,dl=(R\varphi)^{-1}\int_{-\varphi/2}^{\varphi/2}R\,\cos\theta\cdot R\,d\theta$.

2). Просчитывать сегмент в цилиндрических координатах -- довольно неразумно. Не говоря уж о том, что никакие они не цилиндрические, а полярные. Впрочем, коли уж приспичило...

$$x_c=\left(\int_{-\varphi/2}^{\varphi/2}d\theta\int_{R\,\cos(\varphi/2)\over\cos\theta}^Rr\,dr\right)^{-1}\int_{-\varphi/2}^{\varphi/2}d\theta\int_{R\,\cos(\varphi/2)\over\cos\theta}^Rr\,\cos\theta\cdot r\,dr$$