Расширение множества элементарных функций

[Nxx]

Я заметил, что в тех случаях, когда интеграл или мультипликативный интеграл элементарной функции берется в элементарных функциях, далеко не всегда в элементарных функциях выражается дискретный интеграл или дискретный мультипликативный интеграл, соответственно. В то же время, если дополнить множество элементарных функций всего одной функцией (от двух аргументов), такие интегралы берутся отлично.

В качестве добавляемой функции можно выбрать

* $B_a(x)$ - Обобщенные на нецелые $a$ многочлены Бернулли
* $\zeta(z,q)$ - Зата-функция Гурвица
* $\psi(z,q)$ - Обобщенная нормализованная полигамма функция (годится не любая генерализация, а только предложенная тут: http://www.math.tulane.edu/~vhm/papers_html/genoff.pdf)

Все эти функции отлично выражаются друг через друга http://en.wikipedia.org/wiki/Generalize ... a_function

Ваше мнение по этому поводу?

[Someone]

А зачем, собственно говоря? Ну, к исторически сложившемуся списку "элементарных" функций добавим ещё одну. Что изменится по существу? Кто запрещает Вам пользоваться этими функциями сейчас, когда они не называются "элементарными"?

[ewert]

Nxx в сообщении #263594 писал(а):

Ваше мнение по этому поводу?

Отрицательное.

Набор "элементарных" функций сложился исторически, пройдя некоторый естественный отбор. Тот отбор заключался в некоторых вполне естественных (хотя и жёстко не формализуемых) требованиях: определение должно опираться только на некоторые геометрические или формульные соображения здравого смысла, и при этом приводить к достаточно богатому набору общих и наглядно обозримых свойств.

Перечисленные выше функции этим критериям ровно никак не удовлетворяют. Наверное, исключением могла бы служить сама гамма-функция, но и та -- и естественному ("на пальцах") определению не поддаётся, да и набор свойств у неё (из числа наглядно обозримых) -- всего-то навсего одно соотношение.

[PAV]

Тема переносится из раздела "Помогите решить..." в дискуссионный раздел.

[Nxx]

Речь не идет о том, чтобы назвать данные функции "элементарными", а о том, что данное расширение представляет собой логически завершенное расширение их множества, как мнимая единица расширяет множество действительных чисел. Или я не прав?

[Nxx]

Цитата:

Перечисленные выше функции этим критериям ровно никак не удовлетворяют.

Многочлены Бернулли целого порядка и так являются элементарными. Соответственно, и зета-функция с целым отрицательным первым аргументом превращается в многочлен.

[Gafield]

Ну, может это было бы интересно, если бы было положительное утверждение: если функция интегрируется в элементарных, то в дискретном случае она интегрируется при добавлении одной функции. А то, может их там много таких, которых добавть нужно. Кстати, а чему равняется разностная производная этой функции, ведь, насколько я понимаю, разностное интегрирование - это просто суммирование? Для многочленов Бернулли разность равна степеноой функции с целой степенью. Т.е. это типа способ суммирования целых степеней. Может, в общем случае получается суммирование дробных степеней?

[Nxx]

Вот тут есть табличка http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_de ... ve_calculi
Но полигамма функция там используется другая (для положительных целых порядков они совпадают).

[Gafield]

Ну да, так в таблице и записано - обобщенные многочлены Бернули - суммирование дробных степеней.

Цитата:

Но полигамма функция там используется другая (для положительных целых порядков они совпадают).

Так если другие выражаются через многочлены Бернулли, то какая разница. Или для отрицательных целых там при суммированиии появляется опять же Бернулли (или вот эта специальная полигамма)?

[Nxx]

Gafield в сообщении #263957 писал(а):

Ну да, так в таблице и записано - обобщенные многочлены Бернули - суммирование дробных степеней.

Цитата:

Но полигамма функция там используется другая (для положительных целых порядков они совпадают).

Так если другие выражаются через многочлены Бернулли, то какая разница. Или для отрицательных целых там при суммированиии появляется опять же Бернулли (или вот эта специальная полигамма)?

Нет, через обобщенные многочлены Бернулли выражается только нормализованная полигамма.

[Бодигрим]

ewert в сообщении #263617 писал(а):

отбор заключался в некоторых вполне естественных (хотя и жёстко не формализуемых) требованиях: определение должно опираться только на некоторые геометрические или формульные соображения здравого смысла, и при этом приводить к достаточно богатому набору общих и наглядно обозримых свойств.

Множество элементарных функций можно выделить вполне формально: http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8126135.pdf.zip