Дифференциальное уравнение (операторный метод)

[kan141290]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением дифференциальных уравнений.
Нужно решить с помощью символического (операторного) метода.
1. $u'(t)+5u(t)=7e^{3t}-e^{-5t}+2$
2. $u''(t)+2u'(t)+5u(t)=e^{2t}+15$

Решение первого уравнения:
$u'(t)+5u(t)=7e^{3t}-e^{-5t}+2$
$Du(t)+5u(t)=7e^{3t}-e^{-5t}+2$
$(D+5)u(t)=7e^{3t}-e^{-5t}+2$
$e^{-5t}De^{5t}u(t)=7e^{3t}-e^{-5t}+2$
$u(t)=e^{-5t}\frac{1}{D}e^{5t}(7e^{3t}-e^{-5t}+2)$
$u(t)=e^{-5t}\int e^{5t}(7e^{3t}-e^{-5t}+2)$
$u(t)=\frac{7}{8}e^{8t}-t+\frac{2}{5}e^{5t}$
Правильно или нет?

Второе уравнение:
$u''(t)+2u'(t)+5u(t)=e^{2t}+15$
$(D^{2}+2D+5)u(t)=e^{2t}+15$
Что нужно делать с $(D^{2}+2D+5)$?

[mitia87]

Что это за метод - не знаю, но видимо, так.
1. $u'(t)+5u(t)=7e^{3t}-e^{-5t}+2$
До этого места вроде верно.
$u(t)=e^{-5t}\int e^{5t}(7e^{3t}-e^{-5t}+2) \underline{dt}$
$u(t)=\underline{e^{-5t}}\left(\frac{7}{8}e^{8t}-t+\frac{2}{5}e^{5t} \underline{+ C }\right)$

2.$u''(t)+2u'(t)+5u(t)=e^{2t}+15$
$(D^{2}+2D+5)u(t)=e^{2t}+15$
$(D^{2}+2D+5) = (D - \nu_1)(D - \nu_2)$
Здесь $\nu_1,\nu_2$ - корни (комплексные) уравнения $\nu^{2}+2\nu+5 = 0$.

[ewert]

Разложить на сомножители первой степени (они будут комплексными) и решать так же, но в два приёма, обвешивая соотв. комплексными экспонентами. Довольно неуклюжий метод.

Кстати, за что Вы так ненавидите произвольные постоянные?...

[kan141290]

2)
$u''(t)+2u'(t)+5u(t)=e^{2t}+15$
$(D^{2}+2D+5)u(t)=e^{2t}+15$
$(D-(-1+2i))(D-(-1-2i))u(t)=e^{2t}+15$
$e^{-1+2i}De^{1-2i}e^{-1-2i}De^{1+2i}u(t)=e^{2t}+15$
$u(t)=e^{(1-2i)t}\frac{1}{D}e^{(-1+2i)t}e^{(1+2i)t}\frac{1}{D}e^{(-1-2i)t}(e^{2t}+15)$
$u(t)=e^{(1-2i)t}\int e^{(-1+2i)t}e^{(1+2i)t}\int e^{(-1-2i)t}(e^{2t}+15) dt dt$
Так или нет?

[ewert]

ну примерно так. Уродство, конечно, но результат даст. Только не зевайте константы.

[kan141290]

Спасибо.