Бесконечность множества чисел Ферма

[Сорокин Виктор]

Руст писал(а):

1. Для взаимопростых $a$ и $b$ (следовательно, и для взаимопростых a, b, c) существует такое $k$, что числа $A=a^{2^k}-1$ и $B=b^{2^k}-1$ имеют общий сомножитель $d>2$;
Думаюя правильно понял, переписав B. Когда a и b нечётные, числа A и B делятся на $d=2^{k+2}>2$ при k>0. По поводу существования нечётного общего делителя, я сразу не вижу доказательства. Т.е. это пусть остается как гипотеза, хотя я не очень то верю в справедливость такой гипотезы. Даже при еёё справедливости, вряд ли что она вам даст.

1. Да, конечно, речь идет о нечетных $d>2$.
2. Числа $A, B, C$ делятся, по меньшей мере, на все простые вида $d=2^{2^k}+1$ (которые мало что дают), и, если не запутался, то и непростые тоже (во всяком случае, $2^{d-1}-1$ делится на $d$). Вот если бы удалось доказать существование $d$ иного вида, то ВТФ можно считать доказанной.
3. И теперь о лемме «Каждое простое число $d$ является делителем числа $abc$ в равенстве Ферма».
Идея доказательства весьма проста:
необходимое условие для существования равенства A+B=C есть, очевидно, делимость $abc$ на $d$;
необходимое условие для существования равенства $A^{1/2}+B^{1/2}=C^{1/2}$ есть делимость $abc$ на $d$, так как каждое из трех чисел $A^{1/2}$, $B^{1/2}$, $C^{1/2}$ оканчивается либо на 1, либо на -1;
и т.д. до равенства Ферма.
В 1991 г. я разработал (возможно не первым) аппарат исчисления последних цифр «квадратно-квадратных» корней из 1. Изложу, как только окончательно прояснится вопрос с сомножителями $d$.

[Руст]

Сорокин Виктор писал(а):

Руст писал(а):

1. Для взаимопростых $a$ и $b$ (следовательно, и для взаимопростых a, b, c) существует такое $k$, что числа $A=a^{2^k}-1$ и $B=b^{2^k}-1$ имеют общий сомножитель $d>2$;
Думаюя правильно понял, переписав B. Когда a и b нечётные, числа A и B делятся на $d=2^{k+2}>2$ при k>0. По поводу существования нечётного общего делителя, я сразу не вижу доказательства. Т.е. это пусть остается как гипотеза, хотя я не очень то верю в справедливость такой гипотезы. Даже при еёё справедливости, вряд ли что она вам даст.

1. Да, конечно, речь идет о нечетных $d>2$.
2. Числа $A, B, C$ делятся, по меньшей мере, на все простые вида $d=2^{2^k}+1$ (которые мало что дают), и, если не запутался, то и непростые тоже (во всяком случае, $2^{d-1}-1$ делится на $d$). Вот если бы удалось доказать существование $d$ иного вида, то ВТФ можно считать доказанной.
3. И теперь о лемме «Каждое простое число $d$ является делителем числа $abc$ в равенстве Ферма».
Идея доказательства весьма проста:
необходимое условие для существования равенства A+B=C есть, очевидно, делимость $abc$ на $d$;
необходимое условие для существования равенства $A^{1/2}+B^{1/2}=C^{1/2}$ есть делимость $abc$ на $d$, так как каждое из трех чисел $A^{1/2}$, $B^{1/2}$, $C^{1/2}$ оканчивается либо на 1, либо на -1;
и т.д. до равенства Ферма.
В 1991 г. я разработал (возможно не первым) аппарат исчисления последних цифр «квадратно-квадратных» корней из 1. Изложу, как только окончательно прояснится вопрос с сомножителями $d$.

2. Во первых числа $2^{2^k}+1$ скорее всего не простые при k>4 (есть такая гипотеза). Во вторых они не обязаны делит числа A,B.
3. Как я понял и лемма 1. неверна.

[Сорокин Виктор]

Руст писал(а):

2. Во первых числа $2^{2^k}+1$ скорее всего не простые при k>4 (есть такая гипотеза). Во вторых они не обязаны делит числа A,B.
3. Как я понял и лемма 1. неверна.[/quote]

Перемена темы разговора

В связи с находкой одной интересной идеи (см. тему «Доказательство ВТФ by Виктор Сорокин») продолжение обсуждения чисел Ферма откладывается на неопределенное время.

[Dan_Te]

Сорокин Виктор
Строгое замечание за офф-топик и дублирование сообщений. Вы разместили такое же сообщение в другой теме. Это ОЧЕНЬ плохо! Вам что, нравится, когда вас наказывают?

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

В связи с находкой одной интересной идеи (см. тему «Доказательство ВТФ by Виктор Сорокин») продолжение обсуждения чисел Ферма откладывается на неопределенное время.

Прошу помочь

Буду признателен за ответ на следующий вопрос.

Пусть положительные числа $a, b, c$ взаимопростые и числа $c-a$ и $c-b$ тоже взаимопростые.
Можно ли утверждать, что числа $c^n-a^n$ и $c^n-b^n$, где $n$ нечетно и больше 1, тоже взаимопростые (в равенсте Ферма эти числа заведомо взаимопростые).
Если ответ на поставленный вопрос не очевиден, то насколько трудным представляется ответ на него?

[Руст]

Сорокин Виктор писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

В связи с находкой одной интересной идеи (см. тему «Доказательство ВТФ by Виктор Сорокин») продолжение обсуждения чисел Ферма откладывается на неопределенное время.

Прошу помочь

Буду признателен за ответ на следующий вопрос.

Пусть положительные числа $a, b, c$ взаимопростые и числа $c-a$ и $c-b$ тоже взаимопростые.
Можно ли утверждать, что числа $c^n-a^n$ и $c^n-b^n$, где $n$ нечетно и больше 1, тоже взаимопростые (в равенсте Ферма эти числа заведомо взаимопростые).
Если ответ на поставленный вопрос не очевиден, то насколько трудным представляется ответ на него?

Ответ очевиден, и это не верно.

[Сорокин Виктор]

Руст писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Буду признателен за ответ на следующий вопрос.

Пусть положительные числа $a, b, c$ взаимопростые и числа $c-a$ и $c-b$ тоже взаимопростые.
Можно ли утверждать, что числа $c^n-a^n$ и $c^n-b^n$, где $n$ нечетно и больше 1, тоже взаимопростые (в равенсте Ферма эти числа заведомо взаимопростые).
Если ответ на поставленный вопрос не очевиден, то насколько трудным представляется ответ на него?

Ответ очевиден, и это не верно.

А если $a+b=c$?

[Руст]

Даже в этом случае это неверно. Можно например привести такой пример n=3, тогда $x^n=\pm 1(mod 7)$. Соответственно при a=4,b=11,c=15 (взаимно простые) кубы всех по модулю 7 равны 1, т.е. разница кубов любых двух делится на 7.

[Сорокин Виктор]

Руст писал(а):

Даже в этом случае это неверно. Можно например привести такой пример n=3, тогда $x^n=\pm 1(mod 7)$. Соответственно при a=4,b=11,c=15 (взаимно простые) кубы всех по модулю 7 равны 1, т.е. разница кубов любых двух делится на 7.

Премного благодарен!
Усложнение вопроса: а может ли К ТОМУ ЖЕ общий делитель быть больше большего из a, b, c?

[Руст]

Да. Берите достаточно большое простое число p>max(a,b,c) и возьмите степень n=p-1.