Уравнение на N

[Nilenbert]

maxal в сообщении #262613 писал(а):

Верно ли, что любое рациональное число меньшее $\frac{\pi^2}{6}$ можно представить конечной суммой квадратов обратных к различным натуральным числам?

Нет, числа в промежутке $(\frac{\pi^2}{6}-1,1)$ точно не представимы в таком виде. Вроде есть статья Грэхема, где доказано что все рациональные числа в промежутках $(0,\frac{\pi^2}{6}-1]$ и $[1,\frac{\pi^2}{6}]$ представимы в таком виде.
А вот, нашёл статью http://www.math.ucsd.edu/~fan/ron/papers/64_07_reciprocals.pdf

[Sonic86]



Цитата:

Theorem A. Let $n$ be a positive integer and let $H^n$ denote the sequence ($1^{-n}, 2^{-n}, 3^{-n}$, ...). Then the rational number $p/q$ is the finite sum of distinct terms taken from $H^n$ if and only if for all $\varepsilon >0$ there is a fniite sun s of distinct terms taken from $H^n$ such that $0 \leq s - p/q < \varepsilon$.

А это почему? Если бы вместо $H^n$ было $\{ 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; ...\}$, то теорема была бы неверна. Если бы $s_n$ стремилось у нулю быстрее, чем $2^{-n}$, тогда еще понятно, а так непонятно.