Конус и шар

[pakandrew]

Дан конус наполненный водой с радиусом $R$ и высотой $H$.Внутрь конуса помещен тяжелый шар.Найти радиус шара выталкивающий макс. количество воды.
Кажется задача известная, буду рад если дадите ссылку)
По интуиции кажется что шар должен быть типа вписанной оккужностью.
Понятно что можно работать с осевым сечением,и найти окружность занимающую макс. площадь.
Потом пробовал выражать все вещи через радиус окружности,затем через расстояние от вершины конуса до центра окружности.
Но в обоих случаях после нахождения производной получались уродливые выражения.
Не могли бы подсказать более удобный способ решения.
Спасибо.

[Sasha2]

Наверно задача эквивалентна следующей:
В данный конус вписать шар наибольшего объема.

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #262588 писал(а):

Наверно задача эквивалентна следующей:
В данный конус вписать шар наибольшего объема.

Наверное, не эквивалентна. Наверное, шар не обязан быть вписанным. Просто есть наполненное коническое ведро, и из него пытаются вытеснить как можно больше воды шаром произвольного радиуса. Другими словами, верхняя часть шара может торчать из ведра.

[Алексей К.]

pakandrew в сообщении #262584 писал(а):

Понятно что можно работать с осевым сечением,и найти окружность занимающую макс. площадь.

А мне трудно в это поверить. Одинаковые кусочки площади могут превратиться в разные объёмы при вращении вокруг оси.

[jetyb]

Sasha2 в сообщении #262588 писал(а):

Наверно задача эквивалентна следующей:
В данный конус вписать шар наибольшего объема.

Если шар находится в конусе, то максимальный шар является вписанным, - это понятно. Но вот почему выпирающий из конуса шар вытеснит воды меньше, чем вписанный?

Если взять координату центра шара и сосчитать объем вытесненной воды через нее, то получится многочлен третьей степени. Исследование его производной не составит принципиальной сложности.
Так что оптимальнее решить задачу этим "лобовым" методом, чем долго искать более изящное решение.

[AKM]

Предлагаю автору привести свою попытку решения и обсудить её.

[pakandrew]

ну обозначил расстояние от вершины конуса до центра окружности $x$.затем получил что $r=xR/sqrt(R^2+H^2)$.Затем рассмотрел объем как интеграл от $r^2-x^2$,где $x$ от $-r$ до $H-x$(пропустил формальности). После нахождения производной вышел многочлен второй степени которого трудно наисать в LaTeX))).
не могли бы помочь решить это уравнение.

[AKM]

Ваш лаконизм мешает понять проблему.
Похоже, $x$ у Вас был переменной интегрирования, а это должна была быть --- в процессе вычисления объёма данного урезанного шарика --- постоянная величина. Переменной она станет потом. И в этом, видимо, ошибка.

Предлагаю Вам отдельно вывести формулу объёма шара радиуса $r$, от которого отрезана шапочка высотой $h$ (или найти её в справочнике; или и то и другое). И на этом этапе у Вас никакого конуса пока НЕТ.

Потом вложить это дело в конус и тогда думать про максимум.

Мне такой подход представляется оптимальным.

$sqrt(R^2+H^2)$ превращается в $\sqrt{R^2+H^2}$, если перед sqrt поставить палочку: \sqrt, а то, из чего корень, заключить в фигурные скобки.

[Sasha2]

Ну формула объема шарового сегмента высоты H, отрезаемого на шаре радиуса R, записывается так
$V=\frac{1}{3}\pi{H^2(3R-H)}$

[ewert]

, и надо ещё поиметь в виду, что как радиус шара, так и высота сегмента линейно зависят от расстояния между центром шара и вершиной конуса. Т.е. тот объём выражается через кубический многочлен от того расстояния, минимизировать который -- раз плюнуть.

Ну или какой параметр в качестве естественного ни возьми -- всё равно соотношения между ними будут линейными.

Короче -- ничего, кроме аккуратности, тут не требуется. А вот сжульничать на чём, чтоб получить ответ сходу -- скорее всего, не выйдет.

[vvvv]

Оказывается, шар должен быть таким, чтобы полшара было утоплено, а полшара выступало

[e7e5]

pakandrew в сообщении #262584 писал(а):

Дан конус наполненный водой с радиусом $R$ и высотой $H$.Внутрь конуса помещен тяжелый шар.Найти радиус шара выталкивающий макс. количество воды.

Радиус порядка
$\frac {RHL} {(L-R)(L+2R)}$
Вот если б шар упал в эту воронку, то задачка видоизменилась на более интересную (как кумулятивный эффект повлиял бы на кол-во выталкнутой воды из воронки?...)

[ewert]

vvvv в сообщении #262734 писал(а):

Оказывается, шар должен быть таким, чтобы полшара было утоплено, а полшара выступало

Этого не может быть (вообще говоря). Представьте предельный случай, когда конус очень-очень узкий (почти труба). Ясно, что Ваши полшара будут примерно вдвое меньше по объёму, чем пусть и чуть меньший, но почти полностью утопленный шар.

-- Вт ноя 17, 2009 10:16:46 --

e7e5 в сообщении #262769 писал(а):

Радиус порядка
$\frac {RHL} {(L-R)(L+2R)}$

Во-первых, что значит "порядка". Во-вторых: кто такая $L$?...

[TOTAL]

ewert в сообщении #262853 писал(а):

e7e5 в сообщении #262769 писал(а):

Радиус порядка
$\frac {RHL} {(L-R)(L+2R)}$

Во-первых, что значит "порядка". Во-вторых: кто такая $L$?...

Радиус шара равен $\frac {RHL} {(L-R)(L+2R)},$ где $L^2=H^2+R^2$
(слово "порядка" добавлено для того, чтобы это не было полным ответом)

[vvvv]

ewert в сообщении #262853 писал(а):

vvvv в сообщении #262734 писал(а):

Оказывается, шар должен быть таким, чтобы полшара было утоплено, а полшара выступало

Этого не может быть (вообще говоря). Представьте предельный случай, когда конус очень-очень узкий (почти труба). Ясно, что Ваши полшара будут примерно вдвое меньше по объёму, чем пусть и чуть меньший, но почти полностью утопленный шар.

Да, действительно, - принял поспешно неверную гипотезу, что задача от угла конуса при вершине не зависит. Оказывается зависит.
Шар может быть утоплен меньше половины, больше половины и, конечно, на половину (что и получилось в моем частном случае, который был принят за общий случай).

-- Вт ноя 17, 2009 22:40:29 --

TOTAL в сообщении #262923 писал(а):

ewert в сообщении #262853 писал(а):

e7e5 в сообщении #262769 писал(а):

Радиус порядка
$\frac {RHL} {(L-R)(L+2R)}$

Во-первых, что значит "порядка". Во-вторых: кто такая $L$?...

Радиус шара равен $\frac {RHL} {(L-R)(L+2R)},$ где $L^2=H^2+R^2$
(слово "порядка" добавлено для того, чтобы это не было полным ответом)

Эта формула не верна.Проверил для частных случаев.